Определители. Минор, алгебраическое дополнение.

Определитель второго порядка (2*2) – число, равное разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагонали.

Определить третьего порядка (3*3) – число, равное алгебраической сумме шести слагаемых, каждое из которых состоит из трёх множителей, причём взятые с соответствующим знаком (по прав. треуг.). Свойства определителей: 1. Общий множитель из строки или столбца можно выносить за знак определителя. 2. Определитель не меняется при транспонировании. 3. Если есть нулевая строка или столбец, то значение определителя равно 0. 4. Треугольный определитель равен произведению элементов под главной диагональю. 5. Если понимать местами две строки или столбца, то y определителя изменится знак. 6. Если в определителе есть пропорциональные строки или столбцы, то он равен нулю. 7. Если к элементам одной строки добавить соответствующие элементы другой строки, умножение на одно и тоже число, то оно не изменится.

Опр. Если из определителя n-го порядка вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых стоит некоторый элемент, то получится определитель (n-1)-го порядка, называемый минором определителя , соответствующий этому элементу.

Опр. Алгебраическим дополнением некоторого элемента называется соответствующий ему минор, взятый со знаком + или – , смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит данный элемент, чётным или нечётным.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Минор. Алгебраическое дополнение.

Определитель 2-го порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и по­бочной диагоналях:. Определитель 3-его порядка выражается в виде суммы, каждый член которой есть произведение трех элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каж­дого столбца. При вычислении определителей третьего порядка обычно поль­зуются правилом треугольников: первые три слагаемых в правой части равенства вычисляются так, как это показано на рис.

они представляют собой произведения эле­ментов, стоящих на главной диагонали и вершинах двух треугольников, у ко­торых одна из сторон параллельна глав­ной диагонали. Остальные три слагае­мых правой части равенства вы­числяются аналогично рис. только за основу взята побочная диагональ. Причем эти слагаемые берутся с обратным знаком.

Так же прибегая к разложению по строке или столбцу можно перейти к более простому определителю 2-го порядка:

Опр. Если из определителя n-го порядка вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых стоит некоторый элемент, то получится определитель (n-1)-го порядка, называемый минором определителя , соответствующий этому элементу. Опр. Алгебраическим дополнением некоторого элемента называется соответствующий ему минор, взятый со знаком + или – , смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит данный элемент, чётным или нечётным.

Вычисление определителей n-ого порядка. Треугольные диагональные матрицы.

Определитель n-ого порядка можно вычислить по формуле:

т. е. Вычисление определителей n-ого порядка можно свести к вычислению n - определителей (n-1)-го порядка. - разложение по i-той строке, - разложение по j-тому столбцу.

Определитель n – ого порядка можно считать двумя способами:

1. Разложением по удобной строке или столбцу. 2. Используя знакомые операции над строками или столбцами определителя. Часто используется комбинация этих двух способов. ,

det(A^-1*A)=detA^-1*detA =1. Одним из видов матриц являются диагональные матрицы, они имеют вид:

, подвид диаг. матрицы-треугольная: