8.Определение термодинамики и её параметров

Термодина́мика (греч. θέρμη — «тепло», δύναμις — «сила») — раздел физики, изучающий соотношения и превращения теплоты и других форм энергии. В отдельные дисциплины выделились химическая термодинамика, изучающая физико-химические превращения, связанные с выделением или поглощением тепла, а также теплотехника.

В термодинамике имеют дело не с отдельными молекулами, а с макроскопическими телами, состоящими из огромного числа частиц. Эти тела называются термодинамическими системами. В термодинамике тепловые явления описываются макроскопическими величинами — давление, температура, объём, …, которые не применимы к отдельным молекулам и атомам.

В теоретической физике наряду с феноменологической термодинамикой, изучающей феноменологию тепловых процессов, выделяют термодинамику статистическую, которая была создана для механического обоснования термодинамики и была одним из первых разделов статистической физики.

9. Работа газов и изменение объемов

Будем искать выражение в общем виде для внешней работы, которую совершает газ при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, который находится под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 1). Если газ, расширяясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то он осуществляет над ним работу где S — площадь поршня, Sdl=dV— изменение объема газа. Таким образом, (1) Полную работу А, которую совершает газ при изменении его объема от V₁ до V₂, найдем интегрированием формулы (1): (2) Результат интегрирования зависит от вида зависимости между давлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел. Осуществленную в том или ином процессе работу можно изобразить графически с помощью кривой в координатах р, V. Пусть, например, изменение давления газа при его расширении изображается кривой на рис. 2. При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т. е. определяется площадью полоски с основанием dV, которая заштрихована на рисунке. Значит полная работа, которая совершается газом при расширении от объема V₁ до объема V₂, определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p=f(V) и прямыми V₁ и V₂.

Графически можно представлять только равновесные процессы — процессы, которые состоят из последовательности равновесных состояний. Они протекают таким образом, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы не являются равновесными (они протекают с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медленнее протекает процесс, тем он ближе к равновесному). В классической термодинамике рассматриваемые процессы предполагаются равновесными.

10.Первый закон термодинамики представляет собой закон сохранения энергии. Если сообщить телу количество тепла (рис.9.4), тело может за счет этого тепла увеличить свою внутреннюю энергию на величину и, кроме того, выполнить работу , причем в силу закона сохранения энергии: ΔQ=ΔU+ΔA

Последние выражение удобнее записать для малого изменения состояния системы, вызванного сообщением ей малого количества тепла δQ и совершением системой элементарной работы δA

δQ = dU+δA

(9.10)

Различие в записи малого приращения внутренней энергии dU и элементарного количества теплоты δQ, а также элементарной работы δA объясняется следующим соображениями. Как уже отмечалось, внутренняя энергия системы являеться функцией еесостояния.Следоватено, при любом процессе, в результате которого система вновь возвратилась в некоторое состояние, полное изменение ее внутренней энергии равно нулю. Математически это записываться в виде уравнения которое являеться необходимым и достаточным условием того, что внутренняя энергия системы U представляет собой, так называемый полный дифференциал dU. Работа и теплота такими свойствами не обладают. Поэтому δQ и δА не являються полными дифференциалами, эти величины являються “Функциями процесса” (см. рис. 9.3)

Таким образом:

δQ = dU+δA

Первый закон термодинамики формулируеться следующим образом: теплота, переданная системе, расходуеться на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы.

11. Теплоёмкость(формулы+ Уравнение Майера) Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого тела на один градус:

   Размерность теплоемкости: [C] = Дж/К.

       Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому пользуются понятиями удельной и молярной теплоёмкости.

       Удельная теплоёмкость (С_уд) есть количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на 1 градус [C_уд] = Дж/К.

       Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ- количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 градус:

(4.2.2)

       [Cμ] = Дж/(моль×К).

       Из п. 1.2 известно, что молярная масса – масса одного моля:

       где А – атомная масса; m_ед - атомная единица массы; N_А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода ¹²С.

       Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.

       Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С_V.

       С_Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу (рис. 4.2).

Рис. 4.2

       Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что .

       Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.

       Величины С_Р и С_V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.

       Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:

,

(4.2.3)

т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты равно приращению внутренней энергии dU.

       Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:

,

(4.2.4)

       В общем случае

,

       так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4).

       Из (4.2.4) следует, что

,

,

(4.2.5)

      Внутренняя энергия идеального газа является только функцией температуры (и не зависит от V, Р и тому подобных), поэтому формула (4.2.5) справедлива для любого процесса.

       Для произвольной идеальной массы газа:

,

(4.2.6)

       При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:

.

.

(4.2.7)

       Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории . При изобарическом процессе Р = const. Следовательно, из (4.2.7) получим:

.

(4.2.8)

    Это уравнение Майера для одного моля газа.

       Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R – численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в изобарическом процессе.

       Используя это соотношение, Роберт Майер в 1842 г. вычислил механический эквивалент теплоты: 1 кал = 4,19 Дж.

       Полезно знать формулу Майера для удельных теплоёмкостей:

.

 12. Классическая теория теплоёмкости и граница её применимостиКлассическая теория теплоемкости основана на предположении, что к атомно-молекулярным системам применимы законы классической ньютоновой механики. В действительности применимость ньютоновой механики к атомно-молекулярным системам ограничена. По этой причине классическая теория не смогла дать полного удовлетворительного решения проблемы теплоемкости и была заменена более общей квантовой теорией. Однако во многих случаях классическая теория приводила к удивительно хорошему согласию с опытом. Причина этого в том, что классическая теория является приближенным предельным случаем квантовой и, следовательно, имеет определенную область применимости. В пределах этой области выводы классической теории практически не отличаются от выводов квантовой. Мы начинаем изложение с классической теории. Она проще квантовой. При таком порядке изложения отчетливее выявятся принципиальные затруднения классической физики, преодоление которых привело к замене классических представлений квантовыми. Для классических систем справедлива теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. На основе этой теоремы можно построить классическую теорию теплоемкостей газов и твердых телВнутренняя энергия газа состоит из кинетической энергии поступательного, вращательного и внутреннего движения молекул и атомов, а также из потенциальной энергии их взаимодействия. Для идеальных газов, когда молекулярные силы пренебрежимо малы, потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь.

13. Изопроцессы.Среди равновесных процессов, которые происходят с термодинамическими системами, отдельно рассматриваются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния остается постоянным. Изохорный процесс (V=const). Диаграмма этого процесса (изохора) в координатах р, V изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 1), где процесс 1—2 есть изохорное нагревание, а 1—3 — изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е. Из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) для изохорного процесса следует, что вся теплота, которая сообщается газу, идет на увеличение его внутренней энергии: т.к. C_V=dU_m/dt, Тогда для произвольной массы газа получим (1) Изобарный процесс (p=const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой, которая параллельна оси V. При изобарном процессе работа газа при увеличения объема от V₁ до V₂ равна (2) и равна площади заштрихованного прямоугольника (рис. 2). Если использовать уравнение Менделеева-Клапейрона для выбранных нами двух состояний, то и откуда Тогда выражение (2) для работы изобарного расширения примет вид (3) Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T₂ —T₁ = 1К, то для 1 моль газа R=A, т. е. R численно равна работе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1 К.

Рис.1

В изобарном процессе при сообщении газу массой m количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину (т.к. C_V=dU_m/dt) При этом газ совершит работу, определяемую выражением (3). Изотермический процесс (T=const). Изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта: Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу, которая расположена на диаграмме тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс. Исходя из формул для работы газа и уравнения Менделеева-Клайперона найдем работу изотермического расширения газа: Так как при Т=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется: то из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) следует, что для изотермического процесса т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил: (4) Значит, для того чтобы при расширении газа температура не становилась меньше, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, равное внешней работе расширения.

14. Уравнение Пуассона Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

• электростатическое поле,

• стационарное поле температуры,

• поле давления,

• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: Δφ = f,

где Δ — оператор Лапласа или лапласиан, а f — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Δφ = 0.

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод