- •37. Первый замечательный предел.
- •38. Сравнение бесконечно малых величин
- •42. Производная степенной функции.
- •43 Производная алгебраической суммы функций
- •44. Производная частного функций.
- •45. Теорема (о дифференцировании обратной функции)
- •46. Теорема сложной функции
- •47. Производные высших порядков явно заданной функции
- •48 Понятие дифференциала функции
- •49 Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •50. Функция, заданная параметрически
- •53. Теорема (правило Лопиталя).
- •54. Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя
49 Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
|
Примеры.
y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.
Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.
Дифференциал суммы, произведения, частного
Теорема 13. Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы.
Тогда
Доказательство
Теорема доказана.
50. Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции
Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х=y't•t'x. С учетом равенства (21.2) получаем
Полученная формула позволяет находить производную у'х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.
Пусть
Найти у'х.
Решение: Имеем x't=3t2, y't=2t. Следовательно, у'х=2t/t2, т. е.
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.
Действительно, Тогда Отсюда т. е.
51. Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой f'(c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть
Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно,f'(x)=0при всех x [a; b] .
Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.
Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δxи рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что
Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:
Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда
f'(c)=0. Теорема доказана.
52.
Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'(c)(b – a).
Доказательство. Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) – k(x – a).
Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b] и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды и она проходит через точку A(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение
y = f(a) + k(x – a).
Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. ПоэтомуF(x) при каждом xесть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой.
Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b] и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точкаc (a; b), что F'(c)=0. Но F '(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) – k = 0.
Подставляя в это равенство значение k, получим
,
что и требовалось доказать.
Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c (a;b), что .
Доказательство.Определим число . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию.
F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].
Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но
F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,
откуда .
Заметим, что теорему Коши нельзя доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. Объясните почему.