46. Теорема сложной функции

Пусть сложная функция у = f(x) = g(v(x)) такова, что функция у = v(x) определена на промежутке U , а функция u = v(x) определена на промежутке Х и множество всех её значений входит в промежуток U. Пусть функция u = v(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , а функция y = g(u) имеет производную в каждой точке внутри промежутка U. Тогда функция y = f(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка Х , вычисляемую по формуле

y'x = y'u • u'x.

Формулу читают так: производная y по x равна производной y по u, умноженной на производную u по x.

Формулу записывают ещё так:

f' (x) = g' (u) v' (x).

Доказательство.

В точке х   Х зададим приращение аргумента , (х+ х)   Х. Тогда функция u = v(x) получит приращение   , а функция y = g(u) получит приращение  y. Надо учесть, что, так как функция u=v(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке и   при  .

Если функция u(x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в точке u0 = f(x0), то сложная функция F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке x0, причем:

F '(x0) = f '(u(x0))u' (x0).

Производная степенной функции с любым действительным показателем

Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' =  enlnx =   xn = nxn-1. Итак, при любом действитель­ном n и х>0 верна формула (xn)' = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, еслипри этом функция y = xn определена.

47. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y(n)=(y(n-1)) .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Примеры:

y' = (x4)' = 4x3 y'' = (y')' = (4x3)' = 12x2

48 Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                          

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,                                              (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно

Теорема 1. Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям

F(x0,y0) = 0 ;

частные производные F'x и F'y непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ;

F'y(x0,y0) ≠ 0 .

Тогда

уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x0 единственную непрерывную функцию y(x) , удовлетворяющую условию y(x0) = y0 .

функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x0 .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как:

условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;

из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0 .

Производная функции, заданной неявно

Функция y(x) в окрестности точки x0 обращает уравнение F(x,y) = 0 в тождество, т.е.

F(x,y(x)) ≡ 0.

Дифференцируя это тождество, получaeм dF(x, y(x)) ≡ 0, а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

F'x · dx + F'y · dy(x) ≡ 0.

Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция F(x,y,z) = 0 удовлетворяет условиям

F(x0,y0,z0) = 0 ;

частные производные F'x , F'y и F'z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0) ;

F'z(x0,y0,z0) ≠ 0 .

Тогда

уравнение F(x,y,z) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки (x0,y0) единственную непрерывную функцию z(x,y) , удовлетворяющую условию z(x0,y0) = z0 ;

функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в окрестности точки (x0,y0)