- •1. Системы счисления и действия в них
- •2. Пространство сообщений. Коды обнаружения и исправления ошибок
- •3. Шифрование методом замены
- •7. Основные функции алгебры логики
- •Коммутативность
- •Ассоциативность
- •Дистрибутивность
- •8. Минимизация функций алгебры логики
- •Операторные и бинарные программы.
- •12. Булева алгебра. Функциональная полнота
- •Свойства алгебры Жегалкина
- •1. Коммутативность
- •2. Дистрибутивность
- •3. Идемпотентность
- •13. Информатика. Информация. Алфавит.
- •14. Основные свойства информации.
- •15. Мера информации.
- •16. Методы получения информации.
- •18. Шифрование методами перестановки
7. Основные функции алгебры логики
Рассмотрим множество векторов X = {<x1... xn>}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом множество X состоит из 2n векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1} [6].
Определение. Функцией алгебры логики называется функция , дающая однозначное отображение X в Y.
Определение. Если две функции алгебры логики f1(x1... xn) и
f2( x1... xn) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения , то их называют равными
Определение. Функция f(x1... xn) существенно зависит от аргумента xi , если имеет место соотношение : f(x1... xi-1 , 0, xi+1 ... xn) f(x1... xi-1 , 1, xi+1 ... xn) . В противном случае xi - фиктивный аргумент.
Теорема 1. Число различных функций алгебры логики , зависящих от n аргументов конечно и равно 2 в степени 2n.
Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:
-
x1, x2,..., xn
f(x1, x2,..., xn )
00...00
a1
00...01
a2
00...10
a3
...
...
11...11
a2n
Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2n. Следовательно, число функций будет равно 2 в степени 2n.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию области определения функции алгебры логики. Сопоставим наборам аргументов алгебры логики точки n-мерного пространства . Тогда множество 2n таких наборов определит множество вершин n- мерного единичного куба. Таким образом, множество вершин n- мерного единичного куба есть область определения функций алгебры логики. Пусть вершина А соответствует набору
( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1 ), а вершина B - набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 0 ).
Тогда графически это может быть представлено следующим рисунком:
X3
A
0 X2
B
X1
Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация области определения функции алгебры логики
Рассмотрим основные функции, которые играют важную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях :
1. f = X.
2. f = X
3. f = 0.
4. f = 1.
5. f = X v Y.
6. f = X Y.
7. f = X Y.
8. f = X Y.
9. f = X Y.
10. f = X | Y.
11. f = X Y .
Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода: - подстановка в функцию новой функции вместо аргументов; - переобозначение аргументов.
Определение. Функция, полученная из f1 ... fk путем применения возможно многократного указанных двух подходов называется суперпозицией функций f1 ... fk.
Пример. Представить в виде таблицы функцию
f (X1,X2 ) = { ( X1 X2 ) v (X1 X2 ) } = X1 | X2.
Решение.
X1 |
X2 |
X1 X2 |
X1 X2 |
f |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Пример. Показать, что X1 X2 = X1 v X2 на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.
Решение.
X1 |
X2 |
X1 X2 |
X1 |
X1 v X2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Аналогично можно показать, что
X1 X2 = ( (X1 v X2) & (X1 v X2 ) ).
X Y = (X1 v X2) & (X1 v X2 ).
(X1 ) = X.
X1 & X2 = (X1 v X2).
X1 v X2 = (X1 & X2).
Рассмотрим свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.