20.Смешанное произведение трех векторов и его приложения. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор

Имеем , , где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , =H для правой тройки векторов и =-H для левой, где H – высота параллелепипеда. Получим: , т.е. , где V – объем параллелепипеда, образованного векторами , и .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Теорема (о свойствах смешанного произведения). Пусть , и - произвольные векторы. Тогда смешанное произведения:

а) не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. ;

б) не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е. ;

в) меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. , , ;

г) ненулевых векторов , и равно 0 тогда, и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. а) Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

б) В самом деле, и знак в правой части этих равенств берем один и тотже, т.к. тройки векторов , , и , , одной ориентации.

Следовательно . Это позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде без знаков векторного и скалярного умножения.

в) Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющий знак произведения.

г) Если =0, то векторы , и компланарны. Допустим, что это не так, тогда можно построить параллелепипед с объемом . Но т.к. = , то получили бы, что . Это противоречит условию =0.

Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы , и , и, следовательно, , поэтому , т.е. =0.

Получим теперь выражение для смешанного произведения через координаты. Пусть заданы векторы , и . Найдем их смешанное произведение, используя выражение в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

Полученную формулу можно записать короче:

= Т.к. правая часть последнего равенства представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Определение взаимной ориентации векторов , и в пространстве основано на следующих соображениях. Если >0, то , и - правая тройка; если <0, то

, и - левая тройка.

Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю ( , и ):

=0 векторы , и компланарны.

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды. Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , вычисляется как V= ? А объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен .