15.Евклидово пространство и тд.

Пусть L - линейное (векторное) пространство над полем дей­ствительных чисел R. Скажем, что в L задано скалярное произве­дение, если каждой паре векторов x, у Є L поставлен в соответствие скаляр (x;, у) € R так, что для любых векторов х, у, z Є L и для ка­ждого λ € F выполняются следующие условия: 1) (х,у) = (у,х); 2) (λх,у) = λ(х,у); 3) (х + у,z) = (х,z) + (у,z). В этом случае пространство L называется пространством со скалярным про­изведением.

Евклидовым линейным пространством называется про­странство со скалярным произведением, удовлетворяющее условию

4) (х,х) > 0 для любого х € L и из равенства (х,х) = 0 вы­текает, что х = 0.

Из условий 1) - 3) легко получаются следующие соотношения:

5) (х,λу) = (λу,х) = λ(у,х) = λ(х,у);

6) (х,у + z) = (у + z,х) = (у,х) + (z,х) = (х,у) + (х,z).

Пример 1. а) Пусть в n-мерном линейном пространстве L зафиксирован определенный базис. Тогда скалярное произведение векторов х = (х₁,х₂,...,х_п) и у = (у₁,у₂,...,у_п) можно определить равенством (х, у) = ху^T = . Справедливость условий 1)-4)проверяется непосредственно. Длиной, или нормой вектора х в евклидовом пространстве L называется корень квадратный из его скалярного квадрата ||х|| =

= √(x,x). Векторы х и у, скалярное произведение (х,у) которых равно нулю, называются ортогональными. В этом случае будем также

писать х ┴ у.

Теорема 1 (Пифагора). Если векторы х и у ортогональны, то ||x+y||²=||x||²+||y||². Док-во. если (x, у) = 0, то ввиду

условий 1) -3) ||x+у||² = (х+у,х+у) = (х,х) +(x,у)+(y,x)+(y,y)=||x||²+||y||²

Теорема 2 (Неравенство Коши - Буняковского) . В любом ев­клидовом пространстве для любых векторов х,у € L выполняется следующее соотношение: |(х,у)| < ||х||•||у||.

Доказательство. Пусть λ € R. Тогда для вектора х -λу в силу условия 4) имеет место неравенство (х-λу,х-λу) > 0, из которого получаем

(х,х) – 2λх,у) + λ²(у,у) > 0, или ||x||² – 2λ(х,у) + λ²||у||² > 0. Так как этот квадратный трехчлен относительно λ должен быть неотрицательным при всех значениях λ, он не может иметь двух различных вещественных корней, а значит, его дискриминант непо­ложителен: (х, у)² - ||х||² • ||у||² < 0, откуда |(х,у)| < ||x||•||у||, что и требовалось доказать. Теорема 3. В евклидовом пространстве L справедливо так называемое неравенство треугольника: для любых двух векторов x,y € L ||x+y||<||x||+||y||. Док-во. Пользуясь неравенством К-Б, получаем ||x+y||²=(x+y,x+y)=||x||²+2(x,y)+||y||²< ||x||²+2||x||•||y||²=(||x||+||y||)², откуда ||x+y||<||x||+||y||.

Базис е1,е2,…,еn евклидова пр-ва L наз-ся ортогональным если (ei;ej) = 0 при i≠j. Если , кроме того, при , то базис называется ортонормированным. Теорема: Во всяком евклидовом пр-ве L имеются ортонормированные базисы. Док-во: а1,а1,…аn – линейно независимые векторы в пр-ве L.

dim L = m, m≥n. Если m = n, то базис сл-но а1,а1,…аm – базис в L, строим ортогональный базис а1,а1,…аm – базис → b1,b1,….,bm – ортогональный базис.

b1 = а1, b2 = а2+αа1, α€R, (b1,b2)=0, (b1,b2)+ α(b1,a1)=0,

α=-(b1,a1)/ , 0 = (b1,b3)= (b1,a3)+β1(b1,b1)+ β2(b1,b2)

0= (b1,b3)= (b2,a3)+β1(b2,b1)+ β2(b2,b2)

β 1=-(b1,a2)/ , β 2=-(b2,a3)/ b4 = a4+γ1b1+γ2b2+γ3b3,

0 = (b1,b4) → γ1 = -(b1,a4)/ ,

0 = (b2,b4) → γ2 = -(b2,a4)/ ,

0 = (b3,b4) → γ3 = -(b3,a4)/ .

Превращаем в ортонормированный базис: qi= bi/ , , (qi,qi)= bi^T/ * bi/ = 1/ (bi^T*bi)=1.

QR-разложение – разложение матрицы А в произведение ортогональной матрицы Q м верзней треугольной матрицы R с положительными членами на диагонали. A(m*m)= Q (m*m)*R(m*m), Q^T*Q=E, Q ^-1= Q^T.