17. Билинейные и квадратичные формы. Сумма квадратов. Лагранж.

Заданная в линейном пространстве L над полем действитель­ных чисел функция двух переменных f(х,у), относящая каждой паре х,у векторов число f(х,у), называется билинейной функ­цией, или билинейным функционалом, если:

1) f(х,у + z) = f(х,у)+f(х,z); 2) f(_•х, у) = _ • f(х,у);

3) f(х + у,z) =f(х,2) + f(у,z); 4) f(х, _ • у) = _ • f(х, у),

где х,у,г - произвольные векторы из L, _ - любое действительное число.

в задан­ном базисе билинейный функционал представляется билинейной

формой, т.е. выражением вида Матрица A= (a_ik) называется матрицей этой билинейной формы. Билинейный функционал f(х, у) называется симметричным, если для всех х и у из L f(х,у) = f(у,х). Если в симметричной билинейной форме f(х,у) положить у = х, то получится квадратичная форма f(х, х). При этом матрица А квадратичной формы f(х, х) – это симметричная матрица А билинейной формы f(х,у},т.е. f(х,х) = х^T Ах.

Теоp1. Пусть х^T Ах - произвольная квадратичная форма в п-мерном линейном пространстве. Тогда найдется такой базис, в котором эта форма приводится к сумме квадратов (т.е. в ко­тором все коэффициенты при попарных произведениях координат вектора х равны нулю).Док-во. Воспользуемся индукцией по числу входя­щих в квадратичную форму переменных.

Положит опред. матрицы. Критерий «+»-ой определенности .

Квадратичная форма х^TАх называется положительно (отрицательно) определенной, если х^TАх > 0 ( х^TАх < 0) при всех х≠ 0, и положительно (отрицательно) полу определенной, если х^TАх > О (х^TАх < 0) при всех х€L.

Если х^тх - скалярное произведение в евклидовом простран­стве, то соответ-ствующая квадратичная форма х^TЕх = ||х||² явля­ется положит. oпределен-ной. Ясно, что положит опреде­ленная квадратич форма приводится к сумме квадратов с поло­жит коэффициентами, а положит полуопределенная форма - с неотрицат коэффициентами.

Теорема 3. Каждый из перечисленных ниже критериев явля­ется необходимым и достаточным условием положительной опре­деленности матрицы А:

а) х^T Ах > 0 для всех ненулевых векторов х;

б) положительны все собственные значения __i матрицы А

в) положительны все главные угловые миноры матрицы А =

= (a_ik), т.е. Δ₁ = det А₁ = а₁₁ > 0, Δ ₂ =detА₂ = Δ₃= detA₃= >0,…, Δ _n=detA_n=detA>0 (критерий Сильвестра);

г) положительны все ведущие элементы d_i в методе Гауса (без перестановок строк);

д) существует такая невырожденная матрица W, что А = W^TW.

Положит опред матрицы. Критерии Сильвестра.

Квадратичная форма х^TАх называется положительно (отрицательно) определенной, если х^TАх > 0 ( х^TАх < 0) при всех х≠ 0, и положительно (отрицательно) полу определенной, если х^TАх > О (х^TАх < 0) при всех х€L.

Если х^тх - скалярное произведение в евклидовом простран­стве, то соответ-ствующая квадратичная форма х^TЕх = ||х||² явля­ется положит. oпределен-ной. Ясно, что положит опреде­ленная квадратич форма приводится к сумме квадратов с поло­жит коэффициентами, а положит полуопределенная форма - с неотрицат коэффициентами. критерий Сильвестра: положительны все главные угловые миноры матрицы А = (a_ik), т.е. Δ₁ = det А₁ = а₁₁ > 0, Δ ₂ =detА₂ = Δ₃= detA₃= >0…. Δ _n=detA_n=detA>0

определитель любой матрицы равен произведению ее собственных значений. И т.к. все собственные значения __i положительны, то detA = _₁,_₂…__n>0. из положительной определенности А следует поло­жительная определенность всех A_k Рассмотрим все векторы х, по­следние п-k компо-нент которых равны нулю, т.е. векторы х= . Тогда x^TAx=

2) Матрица обратима тогда, и только тогда, когда она невырождена. Док-во. Пусть А обратима => А*А^Т=Е. detA*detA^-1=detE=1 => detA≠0. Пусть detA≠0; A•A^*=A^*•A=det(A) •E => A• = • A=E, => A^-1=

Положит опред матрицы. Собственные значения..

Квадратичная форма х^TАх называется положительно (отрицательно) определенной, если х^TАх > 0 ( х^TАх < 0) при всех х≠ 0, и положительно (отрицательно) полу определенной, если х^TАх > О (х^TАх < 0) при всех х€L.

Если х^тх - скалярное произведение в евклидовом простран­стве, то соответ-ствующая квадратичная форма х^TЕх = ||х||² явля­ется положит. oпределен-ной. Ясно, что положит опреде­ленная квадратич форма приводится к сумме квадратов с поло­жит коэффициентами, а положит полуопределенная форма - с неотрицат коэффициентами. Критерий: положительны все собственные значения __i матрицы А. Док-во: Пусть x_i - нормированный собственный вектор А, соответствующий ее собственному значению __i. Тогда Ах_i = __ix_i и x^T_iAx_i= x^T_i__ix_i = __i, поскольку x^T_ix_i = 1. Тк, х^TАх положи­тельно для всех х, то и для х = х_i величина x^T_iAx_i =_i также должна быть положительной и, следо-вательно, собственные значе­ния положительно определенной матрицы по-ложительны. Теперь пусть все __i > 0. Покажем, что х^TАх > 0 для произ-воль­ного ненулевого вектора х, а не только для собственного вектора. Поскольку симметричная матрица обладает полным набором ортонорми-рованных собственных векторов, то любой вектор х может быть представ-лен в виде линейной комбинации с₁х₁ + с₂х₂ +…+с_пх_п. Отсюда имеем Ах = c₁Ax₁+ с₂Ах₂ + ... + с_пАх_п = с₁_₁х₁ + с₂_₂х₂ + ... + с_n__nх_n и в силу условия ортонормированности системы х_i x^ТАx = (с₁x^T₁ + с₂x^T₂+ ... + с_nx^T_n)( с₁x₁ + с₂x₂ + . . .+ с_nx_n) =c²₁_₁ + c²₂_₂ + ... + c²_n__n. Если каждое __i > 0 и не все с_i равны нулю, то х^TАх > 0.

Положит опред матрицы. LU-разложение… (?)

Квадратичная форма х^TАх называется положительно (отрицательно) определенной, если х^TАх > 0 ( х^TАх < 0) при всех х≠ 0, и положительно (отрицательно) полу определенной, если х^TАх > О (х^TАх < 0) при всех х€L.

Если х^тх - скалярное произведение в евклидовом простран­стве, то соответ-ствующая квадратичная форма х^TЕх = ||х||² явля­ется положит. oпределен-ной. Ясно, что положит опреде­ленная квадратич форма приводится к сумме квадратов с поло­жит коэффициентами, а положит полуопределенная форма - с неотрицат коэффициентами. Критерий: положительны все ведущие элементы d_i в методе Гауса (без перестановок строк); Док-во: поскольку между опреде­лителями подматриц А_k и ведущими элементами имеется прямая связь k-й ведущий элемент d_k является в точности отно­шением detA_k к detA_k-1. Таким образом, если все определители положительны, то все ведущие элементы также положительны и, следовательно, положительно определенные матрицы ни в каких перестановках строк не нуждаются. 2) из положительности ведущих элементов в методе Гаусса следует неравенство x^TAx > 0. В методе исключения Гаусса для симме­тричной матрицы верхняя треугольная матрица U равна транспони­рованной к нижней треугольной матрице L и, следовательно, разло­жение А=LDU переходит в разложение А = LDL^Т . Умножая эти выражения слева на х^T, а справа на х, приходим к сумме квадратов, в которой коэффициентами являются ведущие элементы. По­ложительность ведущих элементов обеспечивает положительность выражения х^TАх.