Вычисление значений функций.

Пусть f(x) является суммой ряда Тейлора ( 13 ). Необходимо с погрешностью определить значение функции в точке х₁ из области сходимости ряда (x₀ – R, x₀ + R). Для этого определим номер n при котором значение остаточного члена |R_n(x₁)| равно указанной погрешности и вычислим значение многочлена Тейлора S_n(x₁)

Пр. Вычислить число е с точностью до 0,001

В разложении ( 14 ) положим х = 1 : е = 1 + 1 + 1/2! + . . . + 1/n! + . . .

Согласно ( 13 ) R_n(1) = exp( )/ (n+1)! , а exp( ) < exp(1) < 3 , т.е. = R_n(1)< 3/(n+1)!

При n = 5 имеем < 3/6! = 1/240 > 0.001 , а при n = 6 < 3/7! = 1/1680 < 0.001

Поэтому е = 2 + ½! + 1/3! + ¼! + 1/5! + 1/6! = 2.7181 с точностью до 0,001.

Вычисление интегралов.

Подынтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора и почленно интегрируют.

Пр. Вычислить J = dx( sin x /x) с точностью 0,001

J = dx 1/x (x – x³/3! + x⁵/5! – . .) = ( x – x³/3!3 + x⁵/5!5 - . .) |^0.5₀ = 1/2 –1/ 2³3!3 + ½⁵5!5 - .

Имеем 1/ 2³3!3 = 1/144 > 0.001 , ½⁵5!5 = 1/19200 < 0.001 . Ряд знакочередующийся и по признаку Лейбница погрешность не превосходит модуля первого из отброшенных членов, т.е. точность 0,001 обеспечивают два первых члена ряда J = 1 + 1/144 = 0.4931

Решение дифференциальных уравнений.

Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x₀) = y₀ , y’(x₀) = y’₀

Ищем решение у(х) в виде ряда Тейлора ( 13 ). Первые два коэффициента разложения y(x₀) , y’(x₀) нам заданы условием задачи. Третий коэффициент находим из дифференциального уравнения y’’(x₀) = f(x₀, y₀, y’₀) . Для определения остальных коэффициентов будем последовательно дифференцировать уравнение y’’ = f(x,y,y’) и подставлять в него известные значения производных низшего порядка.

Пр. Найти первые три члена разложения для задачи Коши : y’’ = xy’ – y + e^x

при начальном условии у(0) = 1, у’(0) = 0

Решение ищем в виде y(x) = y(0) + y’(0)/1! + y’’(0)/2! + . . .

y’’(0) = 0 0 – 1 + 1 = 0 ; y’’’(0) = (xy’’ + e^x)| ₀ = 1 ; y’’’’(0) = (y’’ + xy’’’+ e^x)| ₀ = 1

Ответ : y(x) = 1 + 1/3! x³ + ¼! x⁴

Ряды Фурье.

Существуют различные методы представления произвольной функции f(x) через более простые функции, свойства которых хорошо изучены. Так, ряд Тейлора представляет f(x) через сумму степенных функций. Если f(x) периодическая функция f(x) = f(x+T), то ее можно представить как сумму простейших тригонометрических функций типа A_n sin(nx + ). Такое разложение по кратным гармоникам наз. гармоническим анализом и оно очень удобно при рассмотрении радиотехнических задач. Электромагнитные волны это гармонические колебания, а всякий сложный радиосигнал это совокупность таких колебаний и его разложение на гармоники имеет реальный физический смысл.

Опр. Тригонометрическим наз. функциональный ряд из гармоник кратных частот

a₀/2 + a_ncos nx + b_nsin nx ( 19 )

где коэффициенты ряда a_n , b_n действительные числа, n N . Рассмотрим вопрос о сходимости такого ряда. Введем определения.

Опр. Всякий функциональный ряд наз. равномерно сходящимся на сегменте Х, если существует такой знакоположительный, сходящийся ряд , что |u_n| < v_{n ,} n N Ряд наз. мажорирующим по отношению к исходному.

Равномерно сходящийся на сегменте Х ряд является в пределах сегмента абсолютно сходящимся и его можно почленно интегрировать.

Таким образом, из сходимости числового ряда следует равномерная сходимость ряда ( 19 ), т.к. |cos nx| < 1, |sin nx|< 1. Если ряд ( 19 ) равномерно сходится, то его сумма f(x) является периодической функцией с периодом T = 2 , т.к. все члены ряда имеют такой период.

Вопрос : существует ли простая связь между суммой ряда ( 19 ) S(x) и коэффициентами разложения a_n , b_n ? Ответ : да, т.к. cos nx , sin nx образуют систему ортогональных функций.

Опр. Система функций u₁(x), u₂(x), . . . , u_n(x), . . . наз. ортогональной , если интеграл от произведения этих функций удовлетворяет условию

u_i(x) u_j(x)dx = 0 при i j и = 1 при i = j ( 20 )

Если функция f(x) разлагается в ряд по системе ортогональных функций { u_n }

f(x) = c_n u_n , то ее коэффициенты равны c_n = f(x) u_n(x) dx . Эта формула получается после умножения ряда на u_n(x) и интегрирования с учетом ( 20 ).

Покажем, что тригонометрические функции { ½ , sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . } образуют ортогональную систему на отрезке [- , ] со следующими свойствами

1. = 0 при k n и = при k = n

2. = 0 при k n и = при k = n ( 21 )

3. = 0 4. = 0 , = 0

Действительно, произведения тригонометрических функций сводятся к их сумме

sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] ; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)] ,

а интеграл по полному периоду от тригонометрической функции всегда равен 0. Исключение составляет интеграл

= ½ =

Простая связь между суммой ряда и его коэффициентами позволяет строить ряд под конкретную функцию.

Опр. Рядом Фурье для функции f(x) наз. тригонометрический ряд ( 18 ), который равномерно сходится и его сумма S(x) = f(x) , т.е. построен под конкретную функцию.

Определим коэффициенты ряда Фурье. Для этого проинтегрируем его почленно и получим = а₀ . Умножим все члены ряда ( 1 ) на сos kx и проинтегрируем с учетом соотношений ( 21 ). В результате получаем простые соотношения для произвольных коэффициентов ряда Фурье, которые зависят только от вида f(x) :

а₀ = 1/ ; a_n = 1/ ; b_n = 1/ ( 22 )

Определим условия Дирихле : функция f(x) периода 2 на промежутке [- , ]

1. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода;

2. кусочно-монотонна, т.е. интервал разбивается на конечное число отрезков, где f(x) либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Признак сходимости Дирихле. Если периодическая функция f(x) с периодом 2 удовлетворяет на любом отрезке из R условиям Дирихле, то ряд Фурье для функции f(x) сходится для всех х R. При этом в каждой точке непрерывности функции х сумма ряда равна f(x), а в каждой точке разрыва а равна [f(a+0) + f(f-0)] /2 , т.е. средне-арифметическому значению.

Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то она определяет на промежутке

[- , ] криволинейную трапецию конечной площади и является ограниченной функцией. Интегралы от произведения ограниченной функции на sin nx , cos nx т.е. a_{n ,} b_{n ,} быстро убывают с ростом n вне зависимости от вида f(x). Действительно, разобьем [- , ] на участки с шагом х = 2/n и будем отдельно интегрировать в пределах каждого участка. Тогда при больших n и малых х функция f(x)  const и

 A = A/n sin nx = - A/n sin nx sin  = 0

Стремительное убывание a_{n ,} b_n с ростом n обеспечивает сходимость мажорирующего ряда и, следовательно, равномерную сходимость тригонометрического ряда(19)

Пр. Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = x , . Разложить ее в ряд Фурье.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Находим коэффициенты Фурье = 0; Т.о. для х R , кроме точек разрыва

f(x) = 2( sin x – sin 2x /2 + sin 3x /3 – sin 4x /4 + . . . + (-1)ⁿ⁺¹/n sin nx + . . . )

В точках разрыва x = (2n-1) сумма ряда [- (2n-1) + (2n-1) ]/2 = 0

Пр. Периодическая функция с периодом 2 определена как f(x) = 0 при и f(x) = 1 при . Разложить ее в ряд Фурье.

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

= (1 – (-1)ⁿ) = {

Т.о. для всех х R , кроме точек разрыва f(x) = ½ + 1/ [2/(2m -1)] sin(2m-1) x

В точках разрыва х = 0, n сумма ряда равна (0 + 1)/2 = ½ .

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка

- нечетная функция; 2 - четная функция ( 23 )

График четной функции симметричен, нечетной функции антисимметричен. Каждый из ни распадается на две части на интервалах [-a, 0] и [0, a], которые ограничивают одинаковые по площади криволинейные трапеции. Но знаки этих площадей совпадают для четных функций и противоположны для нечетных. Для четной функции имеем

= + ={x=-z} = - + = +

Для нечетной функции приходим к разности одинаковых интегралов. Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная, произведение двух нечетных функций есть функция четная. Эти свойства интегралов существенно упрощают вид ряда Фурье для четных и нечетных функций.

Для четных функций ряд Фурье имеет вид :

f(x) = a₀/2 + a_ncos nx , где а₀ = 2/ ; a_n = 2/ ; b_n = 0 ( 24 )

для нечетных функций: f(x) = b_nsin nx , где b_n = 2/ ; a_n = 0 ( 25 )

П р. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2 , если на [- , ]она имеет вид f(x) = |x| .

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле и является четной, поэтому b_n = 0,

а₀ = 2/ = а₀ = 2/ = ; a_n = 2/ = 2/ =

= 2/ n[x sin nx|₀ - ] = (2/ n²)[cos n - 1] = (2/ n²)[ ( (-1)ⁿ - 1) =

= (2/ n²){ . Т.о., f(x) = /2 - 4/ (2m -1)^-2 cos(2m-1) x

Ряд Фурье для функций с периодом 2l .

Пусть функция f(x) задана в симметричном промежутке [-l, l] произвольной длины 2l > 0 . Если использовать подстановку x = ly/ , где - < y < , то получаем функцию f(ly/ ) от аргумента у в промежутке [- , ] и ее можно разложить в ряд Фурье по переменной у : f(ly/ ) = a₀/2 + a_ncos nу + b_nsin nу

а₀ = 1/ ; a_n = 1/ ; b_n = 1/

Теперь вернемся к прежней переменной x, используя обратное преобразование y = x/l , тогда

f(x) = a₀/2 + a_ncos n x/l + b_nsin n x/l ( 26 )

а₀ = 1/l ; a_n = 1/l ; b_n = 1/l ( 27 )

Эти формулы определяют разложение в ряд Фурье функции с периодом произвольной длины.

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2l = 2, заданную формулой

f(x) = x , x [-1, 1]

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, нечетная, поэтому a_n = 0 ,

b_{n =} 1/l = 2 = (-2/ n)x cos n x|₀¹ + (2/ n) =

= (-2/ n)x cos n = 2(-1)ⁿ⁺¹/ n

В точках непрерывности f(x) = 2/ (-1)ⁿ⁺¹/ n sin x , а в точках разрыва равна 0.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует. Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах ( 26 ), ( 27 ).

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x

Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче

f(x) = 2/ [(-1)ⁿ⁺¹ sin n x] /n

Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x . В этом случае b_n = 0 , а₀ = 1/l = 2 = 1 ;

a_n = 1/l = 2 = - (2/ ² )(1 - cos n)/n² =

= - (2/ ²n² ) (1 – (-1)ⁿ) = - (2/ ²n² ) {

или а_2m = 0 , a_2m+1 = - 4/ ² (2m+1)² , т.е. получаем разложение f(x) по нечетным гармоникам косинуса f(x) = - 4/ ² cos (2m+1)x / (2m+1)²

Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковый численный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.

Устные экзаменационные вопросы.

по теме: «Числовые ряды»

1. Что такое аппроксимация функций и для чего она нужна;

2. Опр. бесконечной числовой последовательности и ее предела. Общая классификация бесконечных числовых последовательностей;

3. Опр. бесконечного числового ряда. Возможно ли его прямое суммирование?

4. Как определяется сумма бесконечного числового ряда?

5. Опр. сходимости и расходимости числового ряда;

6. Геометрическая прогрессия. Вывод формулы для частичной суммы, переход к пределу

7. Перечислить основные свойства сходящихся числовых рядов;

8. Необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать;

9. Признаки сравнения; Признак Даламбера; Интегральный признак Коши. Доказать;

10. Опр. знакочередующегося числового ряда. Признак Лейбница;

11. Опр. знакопеременного числового ряда. Признак абсолютной сходимости;

12. Опр. абсолютно и условно сходящегося числового ряда; Пр.

13. Опр. функционального ряда и его области сходимости;

14. Опр. степенного ряда и ряда по степеням х ;

15. Теорема Абеля;

16. Опр. радиуса и интервала сходимости степенного ряда и ряда по степеням х;

17. Написать формулу для радиуса сходимости ряда по степеням х;

18. Общее правило дифференцирования и интегрирования степенных рядов;

19. Написать в общем виде ряд Тейлора и ряд Маклорена;

20. Что такое многочлен Тейлора и остаточный член ряда Тейлора;

21. Необходимое и достаточное условие для разложения функции в ряд Тейлора;

22. Написать формулу Лагранжа для остаточного члена ряда Тейлора;

23. Алгоритм разложения произвольной функции в ряд Тейлора;

24. Написать формулы разложения в ряд Тейлора для функций e^x, sin x, cos x, (1+x)^m, ln(1+x), arctg x;

25. Как используют степенные ряды для приближенного вычисления значений функций;

26. Как используют степенные ряды для приближенного вычисления интегралов;

27. Как определяется погрешность при разложении функции в степенной ряд и знакочередующийся ряд;

28. Как используют степенные ряды для приближенного решения диф.уравнений;

29. Написать тригонометрический ряд;

30. Опр. равномерно сходящегося и мажорирующего функциональных рядов;

31. Какой ряд служит мажорирующим для тригонометрического ряда ?

32. При каком условии тригонометрический ряд может оказаться сходящимся ?

33. Общее определение системы ортогональных функций;

34. Чему равны коэффициенты разложения любой функции по системе ортогональных функций ?

35. Почему тригонометрические функции {1/2, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . .} образуют ортогональную систему ?

36. Опр. ряда Фурье. Написать коэффициенты ряда;

37. Чем различаются тригонометрический ряд и ряд Фурье?

38. Условия Дирихле. Признак сходимости Дирихле;

39. Объяснить, почему мажорирующий ряд для ряда Фурье является сходящимся;

40. Свойства интеграла от чет. и нечет. функций по симметричным пределам;

41. Написать ряд Фурье для четных и нечетных функций;

42. Написать ряд Фурье для функций с периодом 2l;

43. Перечислить правила разложения в ряд Фурье непериодических функций.

12