Казанский государственный энергетический университет Кафедра «Высшей математики»

Опорные конспекты лекций.

Тема : Ряды.

Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x)  P_n(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в P_n(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n  ) графики f(x) и ее апраксимации P_n(x) могут совпасть полностью.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: u_n = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u_1, u_2, u_3, . . . , u_n, . . .

Пр. Если f(x) = 2^x, то имеем 2,4,8, . . . , если f(x) = 1/2^x, то имеем ½ ,1/4, 1/8, 1/16, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности u_n наз. число А, такое, что разность между ним и u_n при n   делается бесконечно малой величиной

lim (u_n – A) = 0 или lim u_n = A при n  

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u₁ + u₂ + u₃ + . . . + u_n + . . . = ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр. Частичной суммой ряда S_n наз. сумма ее первых n членов. S_n =

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S₁, S₂, S₃, . . . , S_n, . . . , где S_n = S_{n – 1} + u_n , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim S_n при n   ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.

Пр. Геометрическая прогрессия: a + aq + aq² + aq³ + . . . Её частичную сумму S_n = а умножим на (1 –q). Тогда (1–q)а = a(1 –qⁿ) или S_n = a(1 –qⁿ)/(1– q). При |q| < 1 S_n имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1 бесконечный.

Т.о., этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1 расходится.

Пр. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).

Основные свойства сходящихся рядов.

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во. Имеем и . Пусть , тогда

lim S_n = lim(S_k + _{n – k}) = S_k + lim _{n – k} при n  

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

2⁰ Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда = с = с S . Это свойство пределов.

3⁰ Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм. (Это свойство пределов) = + = S₁ + S₂

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд ( 1 ) сходится, то общий член ряда u_n стремится к нулю с ростом n

lim u_n = lim (S_n – S_{n – 1}) = S – S = 0 при n  

Если lim u_n  0 при n   , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство 0  u_n  v_n , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b). Т.е., если ряд с большими членами сходится, то ряд с меньшими членами тем более будет сходится и наоборот.

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - _n и ряда (b) – S_n связаны неравенством 0_n  S_n и условием сходимости ряда (b) S_n < S. Это устанавливает верхний конечный предел на _n : 0  _n  S_n < S , т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда . Введем второй ряд . Это геометрическая прогрессия с q = 1/5. Она сходится. Из сравнения членов u_n = 1/n5ⁿ <v_n = 1/5ⁿ следует сходимость исходного ряда.

Признак сравнения 2. Если предел отношения общих членов двух разных рядов не 0 или , то сходимость обоих рядов совпадает: при n   . В этом случае u_n , v_n бесконечно малые величины одного порядка.

2.) Признак Даламбера. Если предел отношения последующего члена ряда ( 1 ) к предыдущему меньше 1 , то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится

Если , то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (u_{n + 1} / u_n ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости : Для всякого  > 0 существует такое N , что при n > N выполняется неравенство l -  < u_{n + 1} / u_n < l +  , т.е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой  - окрестности точки l .

Пусть l < 1,  мало и q = l +  < 1 , тогда из условия u_{N + 1} / u_N < q следует u_N+1 <qu_N, u_N+2 <q u_N+1 < q²u_N , u_N+3 < q³u_N , . . . В результате получаем две числовые последовательности : u_{N ,} u_N+1 , u_N+2 , . . . и u_N , q u_N , q² u_N, q³ u_N . . . связанные неравенством u_N+n < u_N qⁿ. Строим из них ряды. Т.к. ряд с большими членами (геометрическая прогрессия, q < 1) сходится, то ряд с меньшими членами также сходится по признаку сравнения и по свойству 1⁰ сходится исходный ряд . При l > 1 аналогичным образом получаем обратный результат.

3 .) Интегральный признак Коши. Cумма членов бесконечной числовой последовательности u_n = f(n) сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится при расходимости интеграла.

Док-во. Ряд f(1) + f(2) + f(3) + . . . можно понимать как площадь ступенчатой фигуры, построенной вдоль кривой y=f(x), а интеграл как площадь криволинейной трапеции y = f(x) Если площадь криволинейной трапеции ограничена, то и площадь ступенчатой фигуры будет ограничена, и сумма ряда будет иметь конечное значение.

Пр. Обобщенный гармонический ряд . Вычислим интеграл J = При  = 1 J = ln x |₁^ =  , при   1 J = x^{1 - } /(1-) |₁^ Отсюда следует, что при  > 1 обобщенный гармонический ряд сходится, а при  1 расходится.

Знакочередующиеся числовые ряды.

Опр. Знакочередующимся наз. числовой ряд вида , u_n > 0 ( 3 )

Признак Лейбница. Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают ( u_n > u_n+1 ) и стремятся к 0 ( lim u_n = 0 при n   ), то ряд сходится, причем, его сумма S > 0 и S < u₁.

Док-во. Члены частичной суммы S_2m сгруппируем двумя способами :

S_2m = (u₁ – u₂) + (u₃ – u₄) + . . . +(u_2m-1 – u_2m) ( a )

S_2m = u₁ – (u₂ – u₃) – (u₄ – u₅) - . . . – (u_2m-2 – u_2m-1) – u_2m ( b )

При способе ( а ) имеем сумму положительных членов S_2m > 0. При способе (b) имеем разность между u₁ и суммой (m – 1) положительного слагаемого. Из этого следует, что S_2m всегда ограничена S_2m < u₁ , а последовательность ограниченных S_2m имеет предел, т.е. ряд сходится. От S_2m+1 легко перейти к S_2m , выделив лишний член.

Знакопеременные числовые ряды.

Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Признак абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из модулей элементов знакопеременного ряда, сходится, то и сам знакопеременный ряд является сходящимся ,

т.е. из сходимости ряда (a) следует сходимость ряда (b)

Док-во. В частичной сумме ряда (b) S_n выделим все положительные слагаемые S_n’ и отрицательные слагаемые S_n’’. Тогда имеем для (b) : S_n = S_n’ - S_n’’ и для (а) :

_n = S_n’ + S_n’’ ,следовательно, S_n < _n . Из условия сходимости ряда (а) следует _n <  или S_n < _n <  , т.е. частичные суммы S_n ограничены и, следовательно, знакопеременный ряд (b) сходится.

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым.

Пр. Ряд сходится по признаку Лейбница ( u_n = 1/n > u_n+1 = 1/(n+1) - да,

lim u_n = lim 1/n = 0 - да ), а гармонический ряд является расходящимся.

Опр. Сходящийся знакопеременный ряд наз. абсолютно сходящимся, если также сходится ряд составленный из модулей его членов, и условно сходящимся, если ряд из модулей не сходится.

На абсолютно сходящиеся ряды переносятся все основные свойства конечных сумм.

Функциональный ряд.

Опр. Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х .

= u₁(x) + u₂(x) + u₃(x) + . . . = S(x) ( 4 )

При фиксированном x = a функциональный ряд становится числовым.

Опр. Областью сходимости функционального ряда наз. множество всех значений х при которых он сходится. В области сходимости сумма ряда S(x) является функцией от х.

Пр. т.к. члены ряда положительны применим признак Даламбера

lim u_n+1 / u_n = e^-x < 1 при х (0,  ), т.е. ряд в этом интервале сходится.

Степенной ряд.

Опр. Степенным наз. функциональный ряд вида

= a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² + . . . ( 5 )

где х₀ и коэффициенты ряда а_n  R . При х₀ = 0 получаем ряд по степеням х

= a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + . . . ( 6 )

Теорема Абеля Если степенной ряд ( 6 ) сходится при х = х₁, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х₁ по модулю ( |x| < |x₁| ). Если ряд ( 6 ) расходится при х = х₂ , то он расходится при всех значениях х больших х₂ по модулю ( |x| > |x₂| ).

Док-во. Пусть при х = х₁ ряд ( 6 ) сходится, т.е. и все его члены ограничены a_nxⁿ < M. Преобразуем ( 6 ) к виду ( 7 )

Введем в ряд ( 7 ) модули ( 8 )

и сравним его с рядом ( 9 )

Большими оказываются члены ряда ( 9 ) : |a_n x₁ⁿ| (|x/x₁|)ⁿ < M (|x/x₁|)ⁿ , который является геометрической прогрессией. При |x| < |x₁| ряд ( 9 ) сходится, следовательно, сходится и ряд с меньшими членами ( 8 ) и абсолютно сходятся ряды ( 7 ) и ( 6 ).

Пусть при х = х₂ ряд ( 6 ) расходится. Предположим, что существует х большее х₂ по модулю (|x| > |x₂|), при котором ряд ( 6 ) сходится. Но тогда он должен сходится и при x₂. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x₂| .

Радиус сходимости.

Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится. Величина R наз. радиусом сходимости, а интервал (-R, R) наз. интервалом сходимости степенного ряда ( 6 ).

Для определения значения радиуса сходимости введем модули для всех членов ряда ( 6 ) и исследуем его сходимость по признаку Даламбера

lim (u_n+1 / u_n) = lim |a_n+1 xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ| = |x| lim |a_n+1 /a_n|  1 при n 

Отсюда получаем R = ( 10 )

При |x| < R ряд сходится, а при |x| > R расходится.

Пр. . Найти радиус и интервал сходимости.

R = lim |a_n /a_n+1 | = lim 3(n+2)/(n+1) = 3 при n  . Исследуем границы интервала.

При х = 3 имеем 1/n - гармонический ряд. Он расходится.

При х = -3 имеем (-1)ⁿ /n - знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница:

1. lim 1/n = 0 n  - да ; 2) u_n = 1/n > u_n+1 = 1/(n+1) - да. Ряд сходится. Ответ [-3, 3).

Степенной ряд ( 5 ) сводится к ряду ( 6 ) заменой переменных x – x₀ = t . Если ряд с переменной t абсолютно сходится для |x – x₀| < R, то интервал сходимости для ряда ( 5 ) принимает вид (x₀ – R, x₀ + R).

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Теорема. Пусть функция f(x) является суммой ряда ( 5 ) на интервале (x₀–R, x₀+R). Тогда

1. f(x) дифференцируема на том же интервале, причем, f `(x) = n a_n(x – x₀)^{n – 1}

2. f(x) интегрируема на том же интервале, причем, для a, b  (x₀ – R, x₀ + R)