3. Математические методы принятия решений.

Планирование правовой, производственно-хозяйственной, управленческой и административной деятельности приводит к задачам, имеющим множество допустимых решений. Из этого множества решений нужно уметь выбрать такое, которое бы оптимальным образом учитывало внутренние возможности и внешние условия для хозяйствующего или управляющего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение , где – его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Для этого нужно выбрать некоторый критерий оптимальности экономического или правового показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений («максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и т.д.).

При этом выбор планово-управленческого решения осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи.

На практике принцип оптимальности в планировании и управлении означает решить экстремальную задачу вида об отыскании максимума или минимума функции

при ограничениях

Вектор называется допустимым решением, или планом задачи оптимального программирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А то допустимое решение, которое доставляет максимум или минимум целевой функции, называется оптимальным планом (решением) задачи.

Если функция является линейной, а система ограниченийпредставляет собой систему линейных неравенств, то такая задача называется задачей линейного программирования.

Предлагаемые далее задания разделены на три группы:

• экономические задачи линейного программирования,

• транспортные задачи,

• задачи целочисленного программирования.

В начале показаны образцы решений всех трех типов заданий, а затем предложены задания для самостоятельного решения.

Задание 3.1. Задача линейного программирования о смесях

Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем – не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице

Характеристика	Компонент автомобильного бензина
	№ 1	№2	№ 3	№4
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,3	0,2
Ресурсы, т	700	600	500	300
Себестоимость, у.е./т	40	45	60	90

Приказом директора завода изготовителя установлен следующий расход каждого компонента: 1 – 550 т, 2 – 10 т, 3 – 150 т, 4 – 290 т. Требуется определить, сколько на самом деле тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной. Какова упущенная выгода предприятия при производстве каждых 1000 т бензина при таком решении дирекции?

Указания: Пусть – количество в смеси компонента с номеромi. С учетом этих обозначений задача минимума себестоимости принимает вид

Первое функциональное ограничение отражает необходимость получения заданного количества смеси (1000 т), второе и третье – ограничения по октановому числу и содержанию серы в смеси, остальные – ограничения на имеющиеся объемы соответствующих ресурсов (компонентов). Прямые ограничения очевидны, но принципиально важны для выбора метода решения. Для решения задачи средствами Excel необходимо составить таблицу.

Образец таблицы

Решение задачи о смесях средствами Excel
Пере- менные	Значе- ния	Критерий и ограничения	Результаты расчетов	Знак отношения	Ресурс
X1	0	Целевая функция	=40*B3+45*B4+60*B5+90*B6
X2	0	Ограничение1	=СУММ(B3:B6)	=	1000
X3	0	Ограничение2	=68*B3+72*B4+80*B5+90*B6	=>	76000
X4	0	Ограничение3	=0,35*B3+0,35*B4+0,3*B5+0,2*B6	<=	300
		Ограничение4	=B3	<=	700
		Ограничение5	=B4	<=	600
		Ограничение6	=B5	<=	500
		Ограничение7	=B6	<=	300

Для решения задачи средствами Excel нужно воспользоваться программой-надстройкой Поиск решения, расположенной в пункте меню Сервис.

В открывшемся диалоговом окне следует установить:

• адрес целевой ячейки,

• диапазон адресов изменяемых ячеек,

• систему ограничений.

Добавления, изменения и удаления ограничений производятся с помощью кнопок Добавить, Изменить, Удалить. Кнопка Параметры открывает окно, в котором следует установить флажок Неотрицательные решения. Для нахождения оптимального решения следует нажать кнопку Выполнить.

Диалоговое окно Результаты поиска решения позволяет:

• сохранить на текущем рабочем листе найденное оптимальное решение;

• восстановить первоначальные значения;

• сохранить сценарий;

• выдать отчеты по результатам, устойчивости, пределам, необходимые для анализа найденного решения.

Если щелкнуть по кнопке ОК, то на месте исходной таблицы получим таблицу с найденными оптимальными значениями.

Оптимальное решение задачи имеет вид:

.

Решение дирекции:

.

Таким образом упущенная выгода предприятия при производстве каждых 1000 т бензина при таком решении дирекции составляет 407 у.е.