Ряды Тейлора и Маклорена.
Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале (x0 – R, x0 + R). Суммой ряда является функция f(x)
= f(x) ( 11 )
Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x) .
Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 11 ) и вычислять производные при х = х0
f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n + . . . , f(x0) = a 0
f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0)2 + … + n an(x – x0)n-1 + . . . , f ‘(x0) = a1
f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 + . . . , f ‘)’(x0) = 2 a2
f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 + . . . , f’’’(x0) = 23 a3
f(n) (x) = n(n–1)(n–2) . . . 2 1 an + . . . , f ( n )(x0) = n ! a n
Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0) , an = f ( n )(x0) / n ! ( 12 )
Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид
f(x) = ( 13 )
и наз. рядом Тейлора , а при х0 = 0 наз. рядом Маклорена.
Обратная задача. Имеем некоторую функцию f(x) бесконечно дифференцируемую в точке х0 . Составим для неё ряд Тейлора.. Его сумма S(x) не всегда совпадает с f(x) , ряд может оказаться расходящимся или вырожденным. Определим условия, при которых S(x) = f(x).
Сумма n первых членов ряда ( 12 ) Sn(x) наз. многочленом Тейлора , а разность Rn(x) = f(x) - Sn(x) наз. остаточным членом ряда Тейлора.
Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора ( 13 ) , необходимо и достаточно, чтобы lim Rn(x) = 0 при n .
Док – во. По определению, сумма ряда S(x) = lim Sn(x) при n , поэтому
f(x) – S(x) = f(x) - lim Sn(x) = lim ( f(x) - Sn(x) ) = lim Rn(x) = 0
n n n
Существуют несколько форм записи остаточного члена. Форма Лагранжа
Rn(x) = f(n+1)( )/ (n+1)! (x – x0)n+1 ( 14 )
Остаточный член n –ого порядка равен n+1 члену ряда, в котором аргументом производной служит некоторая промежуточная точка интервала (x, x0). Для оценки Rn(x) достаточно взять максимально возможное значение .
Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim Rn(x) = 0 при n
Разложение f(x) = ex 1) f ’(x) = ex, . . . , f(n)(x) = ex, f(0) = f ‘(0) = f(n)(0) = 1
S(x) = 2) R = lim | an/an+1| = lim (n+1) = ряд сходится при х R и,
следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда lim un = lim xn/n! = 0
n n
3) lim Rn(x) = lim exp( ) xn+1/(n+1)! = exp( ) lim xn+1/(n+1)! = 0 , где (0,x)
n n n
Итог: функция ех на интервале (- , ) является суммой ряда
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + . . . + xn/n! + . . . = ( 15 )
Разложение f(x) = sin x 1) f ’(x) = cos x = sin (x + ) , f ‘’(x) = sin (x + 2 ), . . . , f(n)(x) = sin (x + n ), . . . ; f(0) =0, f ‘(0) = 1, f ‘’(0) = 0, f ‘’’(0) = -1, f ‘’’’(0) = 0,
и далее цикл 0, 1, 0, -1 повторяется при каждом обходе круга
S(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + . . .
2) R = lim | an/an+1| = lim (2n+1)!/(2n-1)! = lim 2n(2n+1) = на интервале (- , )
n n n ряд сходится абсолютно
3) lim Rn(x) = lim [ sin( + (2n+1) )] x2n+1/(2n+1)! = A lim x2n+1/(2n+1)! = 0 (|A|<1)
n n n
Итог: нечетная функция sin x на интервале (- , ) является суммой ряда
sin x = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + . . . = ( 16 )
Разложение f(x) = cos x Воспользуемся формулой cos x = (sin x)’ и почленно продифференцируем разложение sin x
cos x = 1 – x2/2! + x4/4! - . . . = ( 17 )
Разложение f(x) = (1 + x)m , m R (биноминальное разложение)
1) f ’(x) = m (1-x)m-1, f ’’(x) = m(m-1) (1-x)m-2, . . . , f(n) (x) = m(m-1) . . . (m-n+1) (1-x)m-n, f(0) = 1, f ‘(0) = m, f ‘’(0) = m(m-1), . . . , f(n) = m(m-1) . . . (m-n+1)
S(x) = 1 + m x + m(m-1)/2! x2 + m(m-1)(m-2)/3! x3 + . . .
Если m натуральное число, то ряд превращается в многочлен степени m, т.к. все остальные коэффициенты ряда содержат множитель (m – m)
2) R = lim | an/an+1| = lim (m(m-1) . . . (m-n+1)/n!) : (m(m-1) . . . (m-n)/(n+1)! ) = 1
n n
3) Детальный анализ остаточного члена дает lim Rn(x) = 0 при n
Итог : на интервале (-1, 1) функция (1 + x)m является суммой ряда
(1 + x)m = 1+ m x + m(m-1)/2! x2 + m(m-1)(m-2)/3! x3 + . . = (18)
Если m натуральное число, то (1 + x)m = = Cnnxn Это формула бинома Ньютона, а Cnm = m!/n!(m-n)! – число сочетаний из m элементов по n .
Рассмотрим ряд (18 ) при m = -1, тогда [m(m-1) . . (m-n+1)/n!] = (-1)n-1 n!/n! = (-1)n-1
1/( 1+x ) = 1 – x + x2 – x3 + . . . ;
1/( 1+x2 ) = 1 – x2 + x4 - . . . ;
1/( 1- x ) = 1 + x + x2 + x3 + . .
Разложение f(x) = ln(1 + x) Используем интегральную формулу
ln(1+x) = dx 1/(1 + x) = dx (1 – x + x2 – x3 + . . . ) = x – x2/2 + x3/3 - . . . +(-1)nxn+1/n+1
На интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно ; при х = -1 расходится как гармонический ряд ; при х = 1 условно сходится, как знакочередующийся ряд
Разложение f(x) = arctg x Используем интегральную формулу
arctg x = dx 1/(1+x2) = dx (1 – x2 + x4 - . . . ) = x – x3/3 + x5/5 - . . . + (-1)n x2n+1/2n+1
На интервале (-1, 1) ряд сходится абсолютно , при х = -1 и х = 1 условно сходится, как знакочередующийся ряд.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.