- •16. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.
- •16.1. Двойной интеграл.
- •16.1.3. Свойства двойного интеграла.
- •Интеграл от единичной функции по области равен площади этой области: .
- •Теоремы об оценке интеграла.
- •Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
- •16.1.5. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •16.1.6. Задачи на двойной интеграл.
- •16.1.7. Приложения двойного интеграла.
Теоремы об оценке интеграла.
16.1.3.5.1. Если функция интегрируема по области , и для выполняется , то .
Док-во. (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств).
16.1.3.5.2. Если функция интегрируема по области , то .
Док-во. Эти неравенства непосредственно следуют из того, что и свойства 16.1.3.4. Интегрирование неравенств.
16.1.3.6. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на области , то существует точка , такая что .
Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой области функция принимает в некоторых точках этой области своё минимальное и максимальное значения. Так как , то , или . Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между и , в частности, значение . Следовательно, , откуда и следует доказываемое утверждение.
Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
Определение простой (правильной) области. Область на плоскости Oxy будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области и параллельная оси Oy, пересекает границу в двух точках.
Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Ox: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области и параллельная оси Oх, пересекает границу в двух точках.
Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной.
О граниченную замкнутую область , правильную в направлении оси Oy, можно описать неравенствами . Числа и существуют вследствие ограниченности области , функция образована нижними точками пересечения прямой при с границей области , функция - верхними точками пересечения этой прямой с границей области :
Аналогичным образом область , ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси Oх, можно описать неравенствами . Функция образована левыми точками пересечения прямой при с границей области , функция - правыми точками пересечения этой прямой с границей области .
Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и , и .
Двукратный (повторный) интеграл. Пусть - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:
.
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области : ;
т еоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область разбита на две подобласти и прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области равен сумме интегралов по и : .
Первый случай: прямая параллельна оси Oy. Тогда (аддитивность внешнего интеграла) .
Второй случай: прямая параллельна оси Oх. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла:
(первая фигурная скобка даёт повторный интеграл по , второй - по ) .
Понятно, что воэможны различные случаи взаимного расположения прямых , , и функций , , но логика доказательства во всех случаях такая же.
Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область на две подобласти и . Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает на и ; - на и . По доказанному, , , поэтому . Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти , то .
Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть - простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области равна повторному интегралу от той же функции по области : .
Док-во. Разобьём область с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти . По доказанному выше, . К каждому из итегралов применим теорему о среднем: в любой области найдётся точка такая, что . Следовательно, . В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла . Будем мельчить разбиение области так, чтобы . Вследствие непрерывности функции по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу , т.е. в пределе получим , что и требовалось доказать.
Если область правильная в направлении оси Oх, то аналогично доказывается формула . Если правильна в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую из эти формул: .
Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.