Тема 5. Вопрос 3. Средняя величина как категория статистики.

Средние величины являются одними из наиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеют своей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность, состоящую из меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел. Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюдений случайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность. 

   С помощью метода средних решаются следующие основные задачи:    1. Характеристика уровня развития явлений.    2. Сравнение двух или нескольких уровней.  3. Изучение взаимосвязей социально-экономических явлений.    4. Анализ размещения социально-экономических явлений в пространстве. 

определяющее свойство средней величины

средняя ориентируется на определенную величину, связанную со всеми единицами совокупности

f (x1, x2, x3,…x n) = f (x, x, x,…x ),

где х1 – значение осредняемого признака,

х – осредняемая величина

Исходное соотношение средней величины:

ИСС= Объем признака

Объем совокупности

Виды:

• средняя арифметическая

• средняя гармоническая

• средняя геометрическая

• средняя квадратическая

• средняя кубическая и степенные средние более высоких порядков

Тема 5. Вопрос 4. Виды средних величин.

Средняя арифметическая простая (не взвешенная). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.

, где w_i=x_if_i

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является сред­няя геометрическая:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда свод­ных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

В статистической практике также находят применение степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Тема 5. Вопрос 5. Средняя арифметическая и ее свойства.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах.

1.Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2.Сумма отклонений индивидуальных значений признака отсредней арифметической равна нулю:

3.Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину:

или

4.Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

5.Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Исходя из данного свойства можно заключить, что в случае равенства всех весов между собой расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической простой приведут к одному и тому же результату.