Основные правила дифференцирования

Пусть  , тогда:

 

18.

таблица производных основных элементарных функций

19.

Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x  = φ(t), y = ψ(t), α < t < β, где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

Производная неявно заданной функции

Е сли y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

Алгоритм вычисления производной  y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

• Решить полученное уравнение относительно производной  y'(x).

Производные высших порядков

п роизводная n-го порядка f⁽ⁿ⁾ определена в некоторой окрестности точки x₀ и дифференцируема. Тогда

20.

Основные теоремы дифференциального исчисления:

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если х₀ (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х₀, f (х₀)), параллельна оси Ох:

Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка , а < < b, такая, что f '() = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику f (x) в точке (, f ()) Ox 

Т еорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b) , то найдется, по крайней мере, одна точка c €(a,b), такая, что

Т еорема Коши. Если функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируемы на интервале (a,b) и g€(x)  0 на интервале (a,b) , то существует по крайней мере одна точка c€ (a,b) такая, что

Возрастание и убывание функции

 Функция f возрастает на множестве P, если для любых x₁ и x₂ из множества P, таких, что x₂>x₁, выполнено неравенство f(x₂) > f(x₁). 

Функция f убывает на множестве P, если для любых x₁ и x₂ из множества P, таких, что x₂>x₁, выполнено неравенство f(x₂) < f(x₁). 

Иначе говоря, функция f называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Экстремум функции

Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

21.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Точка перегиба

Х₀ называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

22.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные ,горизонтальные и наклонные.