Методы определения и учета систематических погрешностей.
Характерной особенностью систематической погрешности является принципиальная возможность ее определения и дальнейшего учета:
в виде поправок к результату измерения;
в виде поправочного множителя.
Определяют систематические погрешности следующими способами:
способом индивидуальной градуировки;
способом учета функций влияния величин, имеющих известные или контролируемые при измерении значения;
способом непосредственной калибровки средства измерения перед каждым измерением.
Если значения систематических погрешностей определены, то они могут быть исключены при обработки результатов измерения – это делается алгебраически или с помощью поправочных множителей. Результаты измерений после внесения поправок называют исправленными.
Замечание. Исключение систематических погрешностей не возможно в следующих двух случаях:
когда используют средства измерения, систематические погрешности которых не определены;
для интегрирующих средств измерений (электрический счетчик - систематическая погрешность определяется нагрузкой, а она случайная).
Случайные погрешности измерений.
Факторы, вызывающие случайные погрешности.
Случайные погрешности вызываются большим числом неизвестных величин, действие которых на каждое наблюдение различно и не может быть учтено заранее. Хотя исключить их нельзя, влияние их на результаты измерения можно уменьшить с помощью теории случайных явлений (статистической обработки).
Случайные погрешности измерений возникают:
вследствие наличия случайных погрешностей у самих средств измерений;
из-за небольших, оцениваемых как допустимые, колебания влияющих величин;
из-за ограниченности возможностей органов чувств людей, участвующих в измерениях.
Функции распределения случайных погрешностей.
Наиболее полной характеристикой случайных погрешностей является функция распределения.
Функции распределения – это статистическая зависимость вероятности появления случайной погрешности от значения этой погрешности.
Приборов много и функций распределения, описывающих распределение случайных погрешностей, также много. Все это разнообразие законов распределения можно аппроксимировать ограниченным числом стандартных аналитических функций. Их перечень в виде дифференциальных функций распределения абсолютных погрешностей приведен в ГОСТе 8.011-…
Функции нормального закона распределения.
Нормальный закон распределения употребляют при описании распределения случайной погрешности.
Равномерный закон распределения употребляют при описании распределения систематической погрешности, рассматриваемой как случайной.
Лекция №4.
Оценка параметров нормального распределения случайных погрешностей.
Точечная оценка.
Плотность
распределения результатов наблюдений
может быть записана в виде:
,
где М(αi) – математическое ожидание; σ2 – дисперсия.
Точечными оценками называют оценки математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной погрешности.
Они определяются по экспериментальным данным.
Оценка математического ожидания. Математическое ожидание оценивается выражением:
Свойство:
Дисперсия
среднеарифметического определяется
выражением:
.
То есть дисперсия среднего в N раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения. Таким образом, она более устойчива, чем результат отдельного наблюдения.
Оценка дисперсии. Дисперсия отдельного наблюдения определяется выражением:
.
В знаменателе стоит (N – 1), а не N, для получения несмещенной оценки дисперсии.
Дисперсия
среднеарифметического определяется
выражением:
.
На практике обычно измеряют не дисперсию, а среднеквадратическое отклонение (СКО):
Интервальные оценки (доверительная вероятность и доверительный интервал).
Доверительным
интервалом
называется интервал, который с заданной
вероятностью, называемой доверительной,
накрывает истинные значения измеряемой
величины.
;
где α – доверительная вероятность, характеризующая надежность полученных оценок,
(х–Δ)÷(х+Δ)-доверительный
интервал, его величина выражается в
долях среднеквадратической погрешности
.
Связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом определяется распределением Стьюдента.
Распределение Стьюдента - это есть распределение случайной величины t, определяемое выражением:
.
При числе наблюдений стремящихся к бесконечности, распределение Стьюдента переходит в нормальное.
Как видно из рисунка, распределение Стьюдента определяется числом измерений, поэтому при определении погрешности рассматривают два случая.
число измерений больше 30. Для оценки погрешности в этом случае используют нормальное распределение. Результат измерений записывается в следующем виде:
кα – определяется по параметру α для нормального распределения;
2) число измерений
меньше 30. Для определения погрешности
используют распределение Стьюдента.
Результат измерения записывается в
виде:
tα(n) – называют коэффициентом Стьюдента, который табулирован по параметрами n и α.
Взаимосвязь коэффициентов при нормальном распределении и распределении Стьюдента определяется соотношением:
