16. Границя функції,границя послідовності.

Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів виконується нерівність .

Позначення або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори:  — для будь-якого, будь-який;  — існує, знайдеться; : = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

Число b називається границею функції при , якщо для будь-якого існує число , таке що при виконується нерівність

Коротко це означення можна записати так:

17. Правила граничного преходу

Для того щоб знайти границю елементарної функції, коли аргумент прямує до значення, що належить області визначення функції, треба замість аргумента в вираз підставити граничне значення аргументу. Це правило називається правилом граничного переходу.

Запам’ятайте деякі важливі границі:

- Границя частки одиниці і х дорівнює нулю, якщо х прямує до нескінченності.

- Границя частки синуса х і х дорівнює одиниці, якщо х пярмує до нуля.

Границі функції застосовують для знаходження асимптот графіка функції:

Пряма х = А є вертикальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює нескінченності при аргументі, що прямує до А.

Пряма у = В є горизонтальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює числу В при аргументі, що прямує до нескінченності.

Пряма y = kx + b є похилою асимптотою, якщо границя відношення функції до її аргументу дорівнює числу k при аргументі, що прямує до нескінченності і якщо границя різниці функції і kx дорівнює числу b при аргументі, що прямує до нескінченності.

Функція називається неперервною в деякій точці, якщо ця функція визначена в якому-небудь околі даної точки, і якщо границя приросту функції дорівнює нулю, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Сума скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.

Різниця скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.

Добуток скінченного числа функцій, неперервних в деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.

Відношення двох функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці, якщо дільник не дорівнює нулю.

18. Перша визначна границя. .Друга визначна границя

Перша особлива границя

Границі — наслідки першої особливості границі:

1. 2.

3. 4.

Зауваження. За допомогою першої особливої границі можна досліджувати невизначеності для виразів з тригонометричними функціями.

Для того щоб скористатися першою особливою границею, потрібно виконати таку заміну змінної х, щоб нова змінна прямувала до нуля, наприклад

.Друга визначна границя.

Друга особлива границя

Границі — наслідки другої особливої границі:

1.  .   2.  .  

 3.  .

4.  .

Зауваження: За допомогою другої особливої границі та її наслідків можна досліджувати невизначеності

.

19. Неперервність функції. Дії над неперервними функціями.

Функція називається неперервною в точці якщо

Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності функції в точці можна зобразити так:

Звідси випливає, що для неперервності функції в точці мають виконуватися такі умови:

а) точка х = х₀ належить області визначення функції тобто існує;

б) деякий окіл точки х = х₀ входить до області визначення функції, наприклад

в) границя при дорівнює значенню функції в точці х = х₀, тобто дорівнює .

Позначимо через приріст аргументу, а через — приріст функції (рис. 3.15).