6.1. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.

Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью , а равнодействующая внешних приложенных к нему сил

равнялась . Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью .

Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью .

Применим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы точек:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

Обозначив (скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим основной закон динамики для тела с убывающей массой:

От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной , имеющей размерность силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость , а

направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.

6.2. Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.

Предположим, что в момент времени t система состояла из основного тела массы М, двигавшегося со скоростью и малой массы dM, двигавшейся со скоростью . К моменту времени t+dt малая масса попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое движется со скоростью . Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна  , основной закон динамики записывается для системы в виде:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:

и ли

г де: ― относительная скорость добавляющейся массы.

Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила  совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.

6.3. Первое соотношение Циолковского.

Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.

.Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде:

и ли:

Интегрируя, получим:

Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка , когда ,а . Тогда:

Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:

Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v, зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса и массы топлива , содержащегося в нём: . В конце активного участка топливо полностью сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.

Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:

Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.