4. Вероятность суммы совместимых событий: теорема о сложении вероятностей.
Совместимыми событиями называются те события, которые могут произойти одновременно, т.е. если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. В случае подсчета вероятности события С, которое наступает или при наступлении события А, или при наступлении события В, если А и В не являются несовместными, можно воспользоваться теоремой о сложении вероятностей для совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),
где Р(АВ) – вероятность одновременного наступления и события А, и события В.
5. Вероятность суммы несовместимых событий.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. В частности, если два события А и В – несовместные, то А + В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Пусть события А и В – несовместимые, причем вероятности этих событий известны. Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого , равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1 + А2 + …+ Аn) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аn).
6. Формула полной вероятности. Априорная и апостериорная вероятности, теорема Байеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности РВ1(А), РВ2(А), …, РВn(А) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А) = Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) + …+ Р(Вn)РВn(А).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Теорема Байеса – одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Теорема: Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события. Формула Байеса:
Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действия «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, т.к. они – предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную – с учетом факта произошедшего события – апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).