Неопределенный и определенный интеграл Понятие первообразной и неопределенный интеграл
Функция называетсяпервообразной функцией для функции на промежутке, если в каждой точке этого промежутка.
Пример. А) является первообразной для, т.к.. Б)является первообразной для, т.к..
Если для функции существует первообразная, то она не является единственной. Например, функции,и вообще( некоторая произвольная постоянная) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Если и первообразные для функции на некотором промежутке, то найдется такое число, что будет справедливо равенство:.
Из данной теоремы следует, что, если первообразная для функции, то выражение вида, где произвольное число, задает все возможные первообразные для .
Совокупность всех первообразных функции на промежуткеназываетсянеопределенным интегралом от функции и обозначается, где знак интеграла, подынтегральная функция, подынтегральное выражение, некоторая первообразная для , произвольная постоянная.
Операция нахождения неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Данная операция является обратной для операции дифференцирования.
Правила интегрирования неопределенного интеграла:
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где некоторое число.
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .
Таблица простейших интегралов
|
|
Основные методы интегрирования неопределенного интеграла:
Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с использованием основных правил и таблицы простейших интегралов.
Пример. Найти .
Пример. Найти .
Метод замены переменной (метод подстановки). Данный метод основан на следующей теореме: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , а множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда если , то получаем или .
Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную: . Тогда , , т.е. .
Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.
Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).
Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда если вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной: , где и некоторые числа, .
Алгоритм метода:
Делаем замену.
Дифференцируем замену .
Под знаком интеграла переходим к новой переменной.
Находим табличный интеграл.
Возвращаемся к старой переменной.
Пример. Найти .
Метод интегрирования по частям. Метод основан на теореме: Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке , и функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет первообразную на промежутке , причем справедлива формула. Учитывая, что, получим.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:
1) при отыскании из выражения для ;
2) при отыскании интеграла от .
Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.
Замечание. За нужно брать то, что после дифференцирования упрощается.
Пример. Найти .
Пример. Найти .