Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном обрезке, т.е. функцияопределена для произвольного.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функциина полуинтерваленазывается предел интегралапристремящемся к, т.е.

.

Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1. исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

2. вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Пример. Вычислить .

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования имеет вид: , где.

Пример. Вычислить .

Задания для самостоятельной работы.

Найти интегралы:

Найти определенные интегралы:

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

1. .

2. .

3. .

4. .

Вычислить интегралы или установить их расходимость:

13