- •Вопросы к экзамену по курсу «Методы оптимизации»
- •Глава «Элементы выпуклого программирования»
- •Глава «Основы выпуклого программирования»
- •Глава «Теория линейного программирования»
- •Глава «Динамическое программирование»
- •Глава «Нелинейное программирование и методы безусловной оптимизации – задачи без ограничений»
- •Глава «Нелинейное программирование: метод «штрафных» функций и методы условной оптимизации – задачи с ограничениями»
- •Глава «Геометрическое программирование (гп)»
- •Глава «Методы дискретной оптимизации» для задач дискретного (и целочисленного) программирования
- •Метод «динамического программирования» для задачи коммивояжера (для задачи дискретного программирования).
- •Глава «Стохастическое программирование»
- •Глава «Методы оптимизации в функциональных пространствах для решения вариационных задач и задач оптимального управления»
- •I. Подраздел «Классическое вариационное исчисление (ви)».
- •Подраздел «Оптимальное управление».
- •Подраздел «Синтез оптимальных управлений».
- •Обзор прикладных задач:
Глава «Стохастическое программирование»
-
Жесткая и нежесткая постановки задач стохастического программирования.
Глава «Методы оптимизации в функциональных пространствах для решения вариационных задач и задач оптимального управления»
-
Вспомогательные сведения из функционального анализа: линейное функциональное пространство (банахово пространство), функционалы и операторы, необходимое и достаточное условия экстремума (минимума) функционала
-
Постановка простейшей задачи вариационного исчисления (ВИ). 1-ая основная Лемма Лагранжа уравнение Эйлера-Лагранжа.
-
Разновидности «целевых» функционалов в задачах ВИ и оптимального управления: интегральный функционал, терминальный функционал, смешанный функционал и различные виды ограничений: функциональные равенства (изопериметрическая задача) и дифференциальные ограничения.
-
Целевой функционал, переменные состояния и переменные управления в задаче оптимального управления (ОУ), дифференциальные ограничения.
-
Необходимые условия оптимальности (условия регулярности) в задачах ВИ и ОУ как задач математического программирования: функционал (функция) Лагранжа, построенный на целевой функции, ограничениях и целевом функционале и множителях Лагранжа, и позволяющий решать задачу как задачу безусловной оптимизации.
-
Разрешимость задач минимизации функционалов, теорема Вейерштрассе. Метод Ритца как численный метод оптимизации в функциональных пространствах.
I. Подраздел «Классическое вариационное исчисление (ви)».
-
Примеры задач вариационного исчисления и оптимального управления (формулировка и формализация): задача определения траектории распространения света в среде с переменной плотностью; задача определения формы подвешенной нити; задача о брахистохроне; задача определения критической нагрузки балки; задача о мягкой посадке ракеты на луну
-
Простейшая задача ВИ и первая вариация функционала. Типы экстремумов в задачах ВИ. 2-ая основная Лемма Дюбуа-Реймона и уравнение Эйлера-Лагранжа.
-
Частные случаи уравнения Эйлера-Лагранжа. Решение задач на примере задачи «о брахистохроне» и задачи «о минимальной поверхности вращения»
-
Вторая вариация функционала и условие Лежандра (условие слабого локального минимума). Условие и уравнение Якоби (необходимые и достаточные условия слабого локального экстремума). Решение задачи определения критической нагрузки балки.
-
Постановка задачи Больца. Основные понятия. Правило решения.
-
Необходимое условие экстремума для задачи Больца (Теорема).
-
Более общие задачи ВИ и их классификация: задачи Лагранжа (интегральный функционал), задачи Майера (терминальный функционал), задачи Больца (смешанный функционал). Различные виды ограничений в задачах ВИ: функциональные равенства (изопериметрическая задача) и дифференциальные ограничения.
-
Задача дифференциальных ограничений высших порядков: Обобщенная лемма Дюбуа-Реймона и уравнение Эйлера-Пуассона. Решение задачи определения формы прогиба балки.
-
Примеры прикладных задач: