60. Остается ли момент инерции физического маятника одинаковым относительно осей, проходящих через разные точки подвеса? Почему?

Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси (не проходящей через его центр масс) и способное совершать колебания относительно этой оси.

Уравнение моментов в проекции на ось вращения в данном случае имеет следующий вид:

, (12.1)

где I - момент инерции маятника относительно оси вращения,

 - угол отклонения маятника от положения равновесия, - угловая скорость,

а - расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника.

Если угол отклонения мал, то с достаточно большой точностью выполняется равенство:

sin =  .. (12.2)

Кроме того, для данной оси вращения I=const, поэтому уравнение (12.1) можно переписать в виде:

. (12.3)

Введем обозначение:

, (12.4)

тогда уравнение (12.3) примет вид:

. (12.5)

Уравнение такого типа является уравнением гармонических колебаний, а его решение имеет следующий вид:

(12.6)

где ₀ - амплитуда колебания,

- циклическая частота,

Т - период колебаний,

₀ - начальная фаза колебания.

Точка, которая лежит на прямой, проходящей через точку подвеса и центр масс, и находится на расстоянии приведенной длины от точки подвеса, называется центром качания.

По теореме Гюйгенса - Штейнера (см. Приложение) момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен:

I=I₀ + ma²,

где I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Подставив в это равенство выражение (12.8) и разрешив его относительно l₀, получим:

.

Из этой формулы видно, что приведенная длина равна сумме расстояния от точки подвеса до центра масс (а) плюс некоторая добавка , то есть центр качания лежит ниже центра масс (рис.12.1).

Основное свойство центра качания физического маятника состоит в том, что при подвесе маятника на ось, проходящую через этот центр, период колебаний не изменится. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка становится центром качания, то есть точка подвеса и центр качания обратимы.

63 Запишите и объясните физический смысл уравнения неразрывности

В движущейся жидкости возьмем произвольный замкнутый контур С и через точки его в один и тот же момент времени проведем линии тока Совокупность линий тока, проведенных через все точки контура С, образуют трубчатую поверхность, называемую трубкой тока.

Масса жидкости, протекающая за время dt через поперечное сечение трубки, определяется выражением:

dm=uSdt , (6.1)

где –плотность жидкости;

u –скорость жидкости;

S – площадь нормального сечения трубки тока.

В случае стационарного течения масса жидкости, протекающая в единицу времени через любые сечения данной трубки тока, будет одной и той же.

Если взять два сечения трубки, площади которых равны S₁ и S₂, то можно написать:

₁u₁S₁=₂u₂S₂ . (6.2)

Эта формула выражает один из основных законов гидродинамики – закон сохранения массы или уравнения неразрывности.

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости в трубке тока в поле силы тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом пренебрегаем теплообменом, который может происходить между потоком жидкости и окружающей средой.

Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объем MNDC

Полная работа, совершаемая силами давления при перемещении выделенного объема жидкости в трубке тока из положения MNDC в положение M₁N₁D₁C₁ будет равна:

A=A₁+A₂= р₁S₁u₁t - р₂S₂u₂t . (6.7)

По закону сохранения энергии эта работа должна быть равна приращению полной энергии E выделенной части жидкости за время перемещения:

A=E (6.8)

Так как мы рассматриваем стационарное движение жидкости, энергия жидкости в объеме не изменится. Поэтому значение E равно разности энергии массы жидкости в объемах CDD₁C₁ и MN N₁M₁, которые соответствуют массе жидкости, вытекающей из сечения CD за времяt:

m₂=u₂S₂ t

и втекающей через сечение MN за то же время t:

m₁=u₁S₁t .

Полная энергия единицы массы жидкости состоит из суммы ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле силы тяжести mgh. Следовательно, приращение полной энергии выделенного объема жидкости равно:

, (6.9)

здесь h₁ и h₂ - высоты центров масс тел и с определенного начального уровня (рис.6.2.).

На основании закона сохранения массы должно быть:

m₁=m₂=m ,

u₁S₁t=u₂S₂ t=uS t (6.10)

Подставляя значения A и E из (6.7) и (6.9) в (6.8), получим:

(6.11)

С учетом выражения (6.10), сокращая на m и перенося члены с одинаковыми индексами в одну сторону равенства, окончательно имеем:

. (6.12)

Эта формула впервые была получена петербургским академиком Д. Бернулли в 1738 году и называется уравнением Бернулли.

Формула (6.12) получена нами для двух произвольных сечений трубки тока. Это возможно тогда, когда сумма трех величин, входящих в уравнение Бернулли, остается постоянной по всей длине трубки тока. Следовательно, для любого сечения трубки тока при стационарном течении идеальной жидкости

. (6.13)

Первый член р – называется статическим давлением, второй член называется динамическим давлением или динамическим напором, третий член gh называется нивелирным давлением.

64. P+ρu²/2+ρgh=const

P-стат. давление

ρu²/2-динамический напор

ρgh-нивелирное давление

при движении жидкости по гори-зонтальной трубке сумма статического и динамического давлений сохраняет постоянное значение по длине трубки тока. При движении идеальной жидкости трубку тока можно заменить трубкой из твердого материала. Следовательно, для идеальной жидкости, движущейся в трубке переменного сечения, уравнение Бернулли также справедливо. Однако, при движении реальной (вязкой) жидкости в трубке появляются силы вязкого трения, действующие состороны стенок трубы на поток жидкости. Поэтому при

движении вязкой жидкости полное давление по длине трубы будет уменьшаться. Только для маловязких жидкостей (вода, бензин и др.) и на небольших участках длины трубопровода можно приближенно считать справедливым уравнение Бернулли.

65. Манометр, перемещающийся вместе с жидкостью, не будет изменять движения окружающих его слоев жидкости и покажет давление, которое было в потоке до его погружения. В этом случае жидкость неподвижна по отношению к манометру и измерение давления происходит так же, как и в гидростатике. На манометр, движущийся вместе с жидкостью, действует со стороны жидкости давление, которое соответствует степени сжатия жидкости в ненарушенном потоке. Давление, которое можно было бы измерить манометром, движущимся вместе с жидкостью, называют статическим давлением. Показание же неподвижного манометра, мембрана которого поставлена перпендикулярно к потоку, называют полным давлением. Итак, для измерения статического давления следует применять движущийся манометр, а для измерения полного давления — неподвижный. Однако на практике было бы крайне затруднительно применять движущийся манометр. Чтобы обойти это затруднение, прибору дают такую форму, при которой скорость течения вблизи места, где измеряется давление, не изменяется. Такой прибор можно сделать в виде узкой трубки с закругленным закрытым концом и с отверстиями сбоку (рис. 306, а). Струи потока, проходя мимо отверстий, практически сохраняют свою скорость неизменной, и в колене манометра, соединенного с такой трубкой, создается статическое давление. Такая трубка носит название зонда.

Статическое давление представляет собой давление газа, находящегося в трубопроводе. Оно характеризует потенциальную энергию потока и действует с одинаковой силой во все стороны.

Статические давления в поперечных сечениях трубки переменного сечения определяются по высоте столба жидкости в манометрических трубках (4), отсчитываемых от оси трубки переменного сечения (2):

р_i=gh _i,

где индекс i = 1, 2, 3 соответствует номерам поперечных сечений,  =1000 кг/м³ – плотность воды,

g=9.804 м/с² – ускорение свободного падения. Если значение h_i подставим в метрах, то давление получим в Паскалях.

Манометр, перемещающийся вместе с жидкостью, не будет изменять движения окружающих его слоев жидкости и покажет давление, которое было в потоке до его погружения. В этом случае жидкость неподвижна по отношению к манометру и измерение давления происходит так же, как и в гидростатике. На манометр, движущийся вместе с жидкостью, действует со стороны жидкости давление, которое соответствует степени сжатия жидкости в ненарушенном потоке. Давление, которое можно было бы измерить манометром, движущимся вместе с жидкостью, называют статическим давлением. Показание же неподвижного манометра, мембрана которого поставлена перпендикулярно к потоку, называют полным давлением. Итак, для измерения статического давления следует применять движущийся манометр, а для измерения полного давления — неподвижный. Однако на практике было бы крайне затруднительно применять движущийся манометр. Чтобы обойти это затруднение, прибору дают такую форму, при которой скорость течения вблизи места, где измеряется давление, не изменяется. Такой прибор можно сделать в виде узкой трубки с закругленным закрытым концом и с отверстиями сбоку (рис. 306, а). Струи потока, проходя мимо отверстий, практически сохраняют свою скорость неизменной, и в колене манометра, соединенного с такой трубкой, создается статическое давление. Такая трубка носит название зонда.