1. Графический метод

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения ε_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения ε_i (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости ε_i от ε_i-1

2. Коэффициент автокорреляции.

Если коэффициент автокорреляции r_ei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

3. Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин e_i.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
137.2	109.03	28.17	793.69	0
86	88.89	-2.89	8.35	964.81
44.2	68.75	-24.55	602.71	469.21
35.6	48.61	-13.01	169.3	133.14
18	28.47	-10.47	109.68	6.44
12	8.33	3.67	13.44	199.9
7.2	-11.88	19.08	364.24	237.75
			2061.4	2011.26

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 7 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 > 0.9757 < 2.5, то автокорреляция остатков присутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=7 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d₁ = 1.08; d₂ = 1.36.

Поскольку 1.08 < 0.9757 и 1.36 < 0.9757 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков присутствует.

Проверка наличия гетероскедастичности.

1) Методом графического анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения e_i, либо их квадраты e²_i.

Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку e_i и фактору X. Найдем сумму разности квадратов d².

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
1499	-28.17	1	1	0
1749	2.89	2	4	4
1999	24.55	3	7	16
2249	13.01	4	6	4
2499	10.47	5	5	0
2749	-3.67	6	3	9
3000	-19.08	7	2	25
				58

Связь между признаком e_i и фактором X слабая и обратная

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

По таблице Стьюдента находим t_табл:

t_табл (n-m-1;α/2) = (5;0.05/2) = 2.571

Поскольку Tнабл < tтабл , то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента ранговой корреляции

r(-1.0062;0.9348)

Проверим гипотезу H₀: гетероскедастичность отсутсвует.

Поскольку 2.571 > 0.08, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.