12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.

Главные применения матриц связаны м операцией умножения.

Даны две матрицы:

А – размера mn

B – размера nk

Т.к. длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В, можно определить матрицу С=АВ, которая будет иметь размеры mk. Элемент матрицы С, расположенный в произвольной i-й строке ( i=1,…,m) и произвольном j-м столбце (j=1,…,k), по определению равен скалярному проиведению двух векторов из : i-й строк марицы А и j-го столбца матрицы В:

Свойства:

1. (АВ)С=А(ВС);

2. А(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)С=АС+ВС;

4. (АВ)=(А)В=А(В);

5. АЕ=А,ЕА=А.

Как определяется операция умножения матрицы А на число λ?

Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

13. Определение обратной матрицы и ее свойства.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Cвойства обратных матриц

      Укажем следующие свойства обратных матриц:

1)  (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

1. Если обратная матрица существует, то она единственная.

2. Не у всякой ненулевой квадратной матрицы существует обратная.

14. Приведите основные свойства определителей. Проверьте справедливость свойства |АВ|=|А|*|В| для матриц

А= и В=

Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.

8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А^т, т.е. определитель не меняется при транспонировании.

15. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. Запишите в тригонометрической форме числа √3+i, -1+i.

Каждому комплексному числу z=a+ib может быть поставлен в соответствие вектор (a,b)€R^2. Длина этого вектора, равная √a² + b² называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|. Угол φ между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.

Любое комплексное число z≠0 может быть представлено в виде z=|z|(cosφ +isinφ).

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

-1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Каждому комплексному числу Z = a + ib может быть поставлен вектор (а; b), принадлежащий R^2. Длина этого вектора, равная КВ из a^2 + b^2, называется модулем комплексного числа и обозначается через модуль Z. Угол между данным вектором и положительным направлением оси Оx называется аргументом комплексного числа (обозначается arg Z).