Уравнение Клеро

Частный случай уравнения Лагранжа - при φ(у') = у' уравнение принимает вид

у = х·у' + ψ(у') и называется уравнением Клеро.

Приняв у' = р, получаем: у = хр + ψ(р)

Дифференцируя по х, имеем р = р + х· + ψ'(р)· или (х + ψ'(р))· = 0

Если = 0, то р = с. Поэтому, ДУ имеет общее решение у = хс + ψ(с)

Если х = — ψ'(р), у = хр + ψ(р). Это решение особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

6. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков.

ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде F (x;y;y';y'') или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной у'' = f(х;у; y')

Решением ДУ называется всякая функция у = φ (х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ называется функция у = φ(х; с₁; с₂), где с₁ и с₂ не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. φ(х; с₁; с₂) является решением ДУ для каждого фиксированного значения с₁ и с₂.

2. Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянных с₁ = с₁⁰ и с₂ = с₂⁰ такие, что функция у = φ(х; с₁⁰; с₂⁰) является решением уравнения и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение у = φ(х; с₁⁰; с₂⁰) уравнения, получающееся из общего решения у = φ(х; с₁; с₂) при конкретных значениях постоянных с₁ = с₁⁰, с₂ = с₂⁰, называется частным решением.

Решения ДУ, записанные в виде Ф(х; у; с₁; с₂) = 0; Ф(х; у; с₁⁰; с₂⁰) = 0 называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ представляет собой множество интегральных кривых; частное решение одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (х_о; у_о) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(х_о) = у'.

6.1. Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение у" = f(х). Порядок можно понизить, введя новую функцию приняв у' = р(х), тогда у" =р'(х) и получаем ДУ первого порядка р' = f(х).

2. Уравнение у" = f(х;у'). Обозначим у' = р(х), тогда уравнение принимает вид р' = f(х;р).

3. Уравнение у" = f(у;у'), не содержащее явно независимой переменной х. Для понижения порядка вводится новая функция р=р(у), зависящая от переменной у, принимаем у' = р и дифференцируем это равенство по х.

6.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнение вида b_о(х) · у⁽ⁿ⁾ + b₁(х) · у^(n-1)+... + b_n(х)у = g(х),

где b_о(х) ≠ 0, b₁ (х),... , b_n(х), g(х) — заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции b_о(х) ≠ 0, b₁ (х),... , b_n,(х) называются коэффициентами уравнения, а функция g(х) его свободным членом.

Если свободный член g(х)0, то уравнение называется линейным однородным уравнением (ЛОДУ); если g(х) ≠0, то уравнение называется неоднородным (ЛНДУ).