- •Раздел 1. Дифференциальные уравнения, используемые для описания механических процессов (теоретическое описание механического процесса при помощи дифференциальных уравнений, методы их решения.)
- •Министерство транспорта российской федерации
- •Росморфлот
- •Крымский филиал
- •Фгоу впо «Морская государственная академия
- •Имени адмирала ф.Ф.Ушакова»
- •Кафедра фундаментальных дисциплин
- •Курсовая работа
- •По высшей математике
- •«Применение дифференциальных уравнений
- •Для отображения механических процессов»
- •Севастополь 2011
- •1. Дифференциальные уравнения, используемые для отображения механических процессов
- •Основные типы дифференциальных уравнений, применяемых для описания механических процессов
- •2. Однородные дифференциальные уравнения
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •4. Уравнение в полных дифференциалах.
- •5. Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа
- •Уравнение Клеро
- •6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •6.1. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •6.2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки
- •Колебательные движения
- •Варианты заданий
2. Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение вида Р(х,у)dх + Q(х,у)dу= 0 называется однородным, если Р(х,у) и Q(х,у)dу – однородные функции одинаковой степени.
(Функция f(х,у) называется однородной функцией степени n, где n – целое, если при любом α имеет место тожество f(αх, αу) = αn f(х,у).)
В частности, функция f(х,у) однородная нулевой степени, если f(αх, αу) = f(х,у)
Уравнение может быть приведено к виду у′=
Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной: =u, т.е. у= uх, где u = u(х), - новая неизвестная функция (можно также применять подстановку =u).
3. Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение вида у′ +р(х)у = q(х), (1)
где р(х) и q (х) - непрерывные функции (в частности — постоянные), называется линейным уравнением первого порядка.
Уравнение х'+р(у)х = q (у) является линейным относительно х и х′.
Если q (х) ≡ 0, то уравнение (1) принимает вид у'+р(х)у = 0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае q(х) не тождественно 0 уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.
Решение уравнения (1) находится в виде у = uv, где u = u(х) и v = v(х) — неизвестные функции от х (метод Бернулли). При этом одну из этих функций (например, v(х)) можно выбрать произвольно (из соображений удобства), тогда вторая определится из уравнения (1). В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными.
Кроме того, уравнение (1) можно решить методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа); в этом случае его общее решение ищется в виде:
С(х)·е -∫p(x)dx.
Уравнение вида: у'+р(х)у = f(x)уn,
где nR; n≠0; n≠1, а р(х) и f(х) — непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.
Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y-n+1. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки у = uv (т. е. методом Бернулли) или применив метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
4. Уравнение в полных дифференциалах.
Уравнение Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции т.е. Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = du(х;у).
В этом случае ДУ можно записать в виде du(х;у) = 0, а его общий интеграл будет: u(х;у) = с.
Условие, по которому можно судить, что выражение Δ = Р(х;у)·dx + Q(х;у) – полный дифференциал: .
5. Дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа
Уравнение вида у = х·φ(у') + ψ(у'),
где φ и ψ известные функции от у' = называется уравнением Лагранжа.
Введем вспомогательный параметр, приняв у' = р.
Тогда уравнение примет вид у = х·φ(р) + ψ(р).
Дифференцируя по х, получим: = φ(р) +х·φ'(р)· + ψ'(р)·
т.е. или - линейное уравнение
относительно неизвестной функции х = х(р). Решив его, найдем: х = λ(р;с).
Исключая параметр р из уравнений, получаем общий интеграл уравнения в виде у = γ(х; с).
При делении на могли быть потеряны решения, для которых =0, т. е. р = ро = соnst. Это значение ро является корнем уравнения р—φ(р) = 0.
Решение у = х·φ(ро)+ψ(ро) является особым для уравнения.