§4.8. Общая постановка задачи о колебаниях в объемном резонаторе

Подробно рассмотренные прямоугольные и круглые объемные резонаторы обладают весьма простой геометрией и по этой причине могут быть изучены как закороченные отрезки соответствующих волноводов. Однако может быть поставлена теоретическая задача о свободных колебаниях электромагнитного поля в замкнутом объеме V произвольной формы, ограниченном идеально проводящей поверхностью S. Подобная задача описывается однородным уравнением Гельмгольца

, (4.35)

или

(4.36)

при очевидном граничном условии

. (4.37)

B математической физике показано, что данная краевая задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений (собственных функций), каждому из которых отвечает вполне определенное значение волнового числа k. Эти волновые числа образуют совокупность собственных значений краевой задачи и определяют собой множество резонансных длин волн в рассматриваемой системе.

С физической точки зрения процесс в резонаторе произвольной формы также может быть рассмотрен как интерференция всевозможных бегущих волн, однако здесь форма волновых фронтов отвечает конкретной геометрии стенок и не может быть приведена к плоским, цилиндрическим или сферическим волнам. Совершенно очевидно, что классификация типов колебаний в произвольном резонаторе, основанная на выделении волн типа Е или Н, также теряет всякий смысл. Здесь естественно располагать отдельные типы колебаний в порядке укорочения резонансных длин волн.