10.Замена переменных в определенном интеграле

Пусть функция :

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке [α,β],

2. ,

3. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. F’(x)=f(x) , тогда F(ϕ(t)) - первообразная для функции f(ϕ(t)*ϕ’(t).

, что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.

11. Свойства непрерывных функций, заданных на сегменте.

1) Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная

2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная

3) Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения

4) Пусть непрерывна на и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда на этом промежутке существует такая точка с, в которой

12. Определенный интеграл.

Определенный интегралгде промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], называют еще собственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный пределто его называютнесобственным интегралом первого родаи обозначают

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интегралсходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл dx расходится.

Аналогичноопределяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой

 где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интегралсходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

 

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) 2)3)

Решение:

1)интеграл сходится;

2)интеграл расходится, так как при а →-∞ пределне существует.

3)интеграл расходится.

 

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

 

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤φ(х), то из сходимости

интеграласледует сходимость интегралаа из расходимо-

сти интеграла следует расходимость интеграла

Пример 40.2. Сходится ли интеграл

Решение: При х ≥ 1 имеемНо интегралсходится. Следовательно, интегралтакже сходится (и его значение меньше 1).

 

Теорема 40.2. Если существует предели φ(х) > 0), то интегралыодновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают 

Таким образом,поопределению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интеграл  расходится.

Аналогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся,  если оба несобственныхинтеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0, несобственный интеграл второго рода   (разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).