1) Докажем, что

имеем

по формуле среднего значения: если непрерывна на , то , что

при

27. Вычисление площади криволинейной трапеции.

28. Свойства непрерывных на отрезке функций.

1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие (первая теорема Вейерштрасса).

2. Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наиб. и наим. значения ( т.е.

3. Функция, непрерывная на отрезке , принимает все значения между двумя произвольными величинами на этом отрезке (2-ая теорема Больцано-Коши).

4. Если непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак.

5. Если непрерывна и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где (1-ая теорема Больцано-Коши).

6. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора).

7. Если – определена, монотонна, непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

29. Вычисление объема тела.

Доказательство: разобьем на n частей

на каждом отрезке построим прямоугольник. При вращении вокруг оси ОХ каждый прямоугольник опишет цилиндр. Объем і-го цилиндра:

Объем тела равен сумме объемов n цилиндров

так как – непрерывна , то предел при существует и равен:

30. Вычисление площади поверхности тел вращения.