- •Оглавление
- •Часть 1. Расчет параметров посадки отверстия и вала.
- •Часть 2 Метод полной взаимозаменяемости Прямая задача
- •Способ полной взаимозаменяемости обратная задача
- •Способ вероятностный Прямая задача
- •Способ вероятностный Обратная задача
- •Часть 3 Обработка результатов многократных измерений
- •Список использованных источников
Способ вероятностный Обратная задача
Сведем данные для расчета в табл.4.
1. Номинальное значение замыкающего размера
2. Среднее отклонение замыкающего размера
3. Допуск замыкающего размера
Предельные отклонения замыкающего размер
Сравниваем полученные результаты с заданными
Следовательно, изменения предельных отклонений составляющих размеров
не требуется.
Таблица 4
Обоз. размеров |
Размер |
|||||||||
+1 |
-0,06 |
0,12 |
+0,2 |
0,012 |
-0,048 |
-0,048 |
0,12 |
0,0144 |
||
+1 |
0,717 |
0,29 |
+0,2 |
0,029 |
+0,746 |
+0,746 |
0,29 |
0,0841 |
||
+1 |
-0,06 |
0,12 |
+ 0,2 |
0,012 |
-0,048 |
-0,048 |
0,12 |
0,0144 |
||
-1 |
0 |
0,25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,25 |
0,0625 |
Часть 3 Обработка результатов многократных измерений
В табл.1 приведены 100 независимых числовых значений результата измерения X, каждое из которых повторилось m раз. Доверительная вероятность P=0,96
Табл. 1
X, В |
43.87 |
43.9 |
43.96 |
43.98 |
43.99 |
44 |
44.01 |
44.03 |
44.05 |
44.06 |
44.08 |
m |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
X, В |
44.09 |
44.1 |
44.11 |
44.12 |
44.13 |
44.15 |
44.16 |
44.17 |
44.18 |
44.19 |
44.22 |
m |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
X, В |
44.23 |
44.24 |
44.25 |
44.28 |
44.29 |
44.3 |
44.31 |
44.32 |
44.33 |
44.34 |
44.35 |
m |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
4 |
5 |
1 |
2 |
1 |
3 |
X, В |
44.37 |
44.39 |
44.41 |
44.42 |
44.43 |
44.44 |
44.45 |
44.46 |
44.47 |
44.48 |
44.51 |
m |
2 |
3 |
2 |
1 |
4 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
X, В |
44.53 |
44.57 |
44.59 |
44.61 |
44.62 |
44.7 |
44.75 |
44.82 |
44.85 |
m |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1.Определяем среднее арифметическое и стандартное отклонение для данных табл.1: ; .
2. С помощью правила « трех сигм» проверяем наличие или отсутствие промахов.
Таким образом, ни один из результатов не выходит за границы интервала, следовательно, с вероятностью 0,9973 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается.
3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.
Для этого, чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений расположить в так называемый вариационный ряд по возрастанию их численных значений( в рассматриваемом примере эта процедура уже проделана и представлена табл.1)
Участок оси абсцисс, на котором располагает вариационный ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов. Выбор числа интервалов k=10 :
.
Выбор начала первого интервала в точке 43,821, тогда конец последнего(11-го) интервала окажется в точке 44,899
Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов , попавших в данный интервал и определяется
(Результаты приведены в табл.2)
Общее число интервалов становится равным 8.
4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.
Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа:
, и определяем по таблице.
Найдя таким образом значения Рi для каждого интервала ki , заполним соответствующие ячейки таблицы 2, а затем рассчитаем значение -- критерия для каждого интервала и, наконец суммарное значение :
Определим табличное значение , задавшись доверительной вероятностью 0,96 и вычислив по формуле r=k-3 число степеней свободы:
r =k-3=10-3 =7 ;
Таким образом, с вероятностью 0,96 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения принимается.
5. В тех же координатах , что и гистограмма , следует построить теоретическую кривую плотности вероятности . Для этого рассчитываются значения плотности вероятности для середина каждого интервала pi=Pi/ и откладываются как ординаты из середины соответствующих интервалов , полученные точки соединяют плавной кривой , симметричной относительно математического ожидания .
6. Представление результатов в виде доверительного интервала.
Для этого определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле:
Закон распределения вероятности для среднего арифметического считаем нормальным (что следует из нормальности распределения самой измеряемой величины), тогда доверительный интервал определяется по выражению () при доверительной вероятности 0,96. Этому значению соответствует аргумент функции Лапласа t = 2,26
В случае, если закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, то относительный доверительный интервал рассчитывается в соответствии с неравенством Чебышева :
; t=5
Как видно из сравнения результатов, неизвестность закона распределения вероятности приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации
табл.2
i |
Xi-1 |
Xi |
m |
ti-1 |
ti |
Фi-1 |
Фi |
Pi |
||
1 |
43.821 |
43.919 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
43.919 |
44.017 |
6 |
0.408163 |
-2.2878 |
-1.33171 |
-0.4887 |
-0.4082 |
0.0805 |
0.000311 |
3 |
44.017 |
44.115 |
16 |
1.632653 |
-1.33171 |
-0.85366 |
-0.4082 |
-0.3023 |
0.1059 |
2.763749 |
4 |
44.115 |
44.213 |
14 |
1.428571 |
-0.85366 |
-0.37561 |
-0.3023 |
-0.148 |
0.1543 |
0.132528 |
5 |
44.213 |
44.311 |
19 |
1.938776 |
-0.37561 |
0.102439 |
-0.148 |
0.0398 |
0.1878 |
0.002577 |
6 |
44.311 |
44.409 |
12 |
1.22449 |
0.102439 |
0.580488 |
0.0398 |
0.219 |
0.1792 |
1.955714 |
7 |
44.409 |
44.507 |
16 |
1.632653 |
0.580488 |
1.058537 |
0.219 |
0.3554 |
0.1364 |
0.408328 |
8 |
44.507 |
44.605 |
8 |
0.816327 |
1.058537 |
1.536585 |
0.3554 |
0.4382 |
0.0828 |
0.009469 |
9 |
44.605 |
44.703 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
44.703 |
44.801 |
1 |
0.238095 |
1.536585 |
2.970732 |
0.4382 |
0.4986 |
0.0604 |
0.152583 |
11 |
44.801 |
44.899 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Заключение
Рассмотрев основные аспекты государственного контроля и надзора за соблюдением требований государственных стандартов, становится очевидным, что государственный контроль над единством измерений и соблюдений стандартов необходим для обеспечения соответствия нормам стандартов всех отраслей науки, промышленности и хозяйства. Проведя расчеты по составлению размерных цепей, посадок и статистического анализа многократных измерений, становится ясным необходимость и достаточность для этого математических навыков.