4. Нелинейные и параметрические цепи

Большинство важнейших процессов (нелинейное усиление сигналов, модуляция, детектирование, ограничение, генерация, умножение, деление и преобразование частоты) связаны с преобразованием спектра сигналов и осуществляются с помощью нелинейных и параметрических цепей.

В отличие от линейных, в нелинейных цепях параметры элементов зависят (изменяются) от входных воздействий. Поэтому процессы, протекающие в них, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, сложными в решении. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от ее параметров при подключении нескольких источников.

Промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями занимают цепи с переменными параметрами или параметрические цепи, параметры которых зависят от времени. В отличие от нелинейных цепей, параметрические цепи являются линейными и к ним применим принцип суперпозиции. Однако, в этом случае в спектре выходного сигнала могут появиться новые частоты. Параметрические цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными, зависящими от времени коэффициентами, решение которых также сложно. Некоторые параметрические цепи работают в нелинейном режиме. Это позволяет методологически объединить параметрические цепи с нелинейными цепями, тем более, что в результате обработки сигнала происходит преобразование его спектра.

4.1. Аппроксимация характеристик нелинейных элментов

Анализ прохождения сигналов через нелинейные цепи удается осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент (НЭ) отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность НЭ означает мгновенное установление отклика на его выходе на входное воздействие.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей можно представить эквивалентной структурной схемой рис.4.1.

Рис.4.1. Эквивалентная схема НЭ.

К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы нелинейных усилителей, модуляторов, детекторов, автогенераторов, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ наиболее удобно в качестве входного воздействия рассматривать напряжение u_вх(t), а отклика - выходной ток i_вых(t). Связь между ними определяется следующей нелинейной функциональной зависимостью:

i_вых(t =f [u_вх(t)] (4.1)

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольтамперную характеристику НЭ.

4.2.Отклик нелинейной цепи на гармонический входной сигнал

Проанализируем физические процессы, протекающие в нелинейной цепи (рис.4.2а), при воздействии на вход безынерционного НЭ z простейшего, гармонического сигнала u₁(t)=U_mcosωt и постоянного напряжения смещения U₀.

Рис.4.2. Цепь с нелинейным элементом:

а - схема; б, в- графики процессов.

Проведем несложные графические построения, используя характеристику НЭ, и найдем аналитическую запись формы тока в цепи в зависимости от фазового угла φ=ωt (рис.4.2.б, в). Вследствие нелинейности характеристики форма тока на выходе цепи становится несинусоидальной. Функция тока периодична (рис.4.2.в) и ее можно представить тригонометрическим рядом Фурье:

, (4.2)

где I₀, I_n- амплитуды постоянной и гармонических составляющих.

Найдем значения членов ряда при различных аппроксимациях характеристики НЭ (степенной и кусочно-линейной).

Спектр тока в цепи с НЭ при степенной аппроксимации его

характеристик

Пусть суммарное напряжение источников смещения и входного гармонического сигнала

u(t)=U₀ + U_mcosωt (4.3)

приложено к НЭ, вольтамперная характеристика которого в окрестности рабочей точки аппроксимирована степенным полиномом Тейлора:

i(u)=a₀+a₁(u-U₀)_{_}+a₂(u-U₀)²+ a₃(u-U₀)³+… (4.4)

где a_i– коэффициенты полинома.

Подставив формулу (4.3) в выражение(4.4), получим

i(u)=a₀+a₁ U_mcosωt _{_}+a₂ (U_mcosωt)² + a₃ (U_mcosωt)³. +… Используя известные формулы разложения степеней косинусов:

и т.д.

после преобразования и группировки членов получим:

i(t)=I₀ +I₁cosωt+ I₂cos2ωt + I₃cos3ωt + …, (4.5)

где постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока равны:

(4.6)

и т.д.

Анализ формул (4.6) показывает, что при степенной аппроксимации характеристики НЭ гармонический состав тока в цепи с НЭ существенно зависит от степени полинома. При этом постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются четными, а амплитуды нечетных гармоник - нечетными коэффициентами степенного полинома.

Спектр тока в цепи с НЭ при кусочно-линейной аппроксимации его характеристики.

Пусть суммарное гармоническое и постоянное напряжение вида (4.3) подается на вход электрической цепи с НЭ, характеристика которого аппроксимирована кусочно-линейной линией (рис.4.3) и аналитически описывается формулой:

(4.7)

где - крутизна характеристики.

Рис.4.3. Форма тока при кусочно-линейной аппроксимации

характеристики НЭ.

В этом случае временная диаграмма тока, протекающего через НЭ цепи, имеет форму косинусных импульсов с отсечкой их нижней части.

Параметр θ (в радианах или градусах), при котором ток изменяется от максимального значения I_т до нуля, называется углом отсечки. При этом изменение фазы, соответствующее длительности полного импульса тока на выходе цепи, равно 2θ. Из графиков рис.4.3 нетрудно определить, что при фазовом угле ωt=0, напряжение начала характеристики равно

Е_Н=U₀ + U_mcosθ,

откуда

. (4.8)

Подставив в формулу (4.7) суммарное напряжение источников сигнала и смещения из выражения (4.3) и напряжение начала характеристики Е_Н, получим аналитическую запись формы тока в зависимости от фазового угла:

(4.9)

Полученную четную функцию i(ωt) периодической последовательности импульсов тока (4.9) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье (4.2), в котором период повторения составляет 2π, длительность импульса - 2θ, а текущей переменной является мгновенный фазовый угол φ=ωt.

Полученные результаты разложения принято записывать в форме:

, (4.10)

где γ_0, γ₁…, γ_п – функции Берга или коэффициенты гармоник, определяющие величины гармоник в спектре преобразованного тока:

(4.11)

Коэффициенты гармоник тока используются в инженерных расчетах, например, нелинейных усилителей мощности, умножителей частоты, преобразователей, автогенераторов и приводятся в специальной литературе в виде таблиц или графиков. На рис.4.4 показаны графики первых трех из этих функций в зависимости от угла θ отсечки тока, которые позволяют выбрать θ для требуемой максимальной гармоники.

Рис.4.4. Коэффициенты гармоник в зависимости от θ.