3. Линейные радиотехнические цепи.

Радиотехнические цепи - совокупность активных и пассивных элементов, соединенных для прохождения, изменения и преобразования электрических сигналов.

Пассивный элемент - передает, потребляет или накапливает электрическую (магнитную) энергию.

Активный элемент – вырабатывает или преобразует электрический сигнал одной формы в другую.

Элементы цепи могут быть соединены в двухполюсники, четырехполюсники или многополюсники.

Различают:

- цепи с сосредоточенными параметрами (размеры цепи гораздо меньше λ), свойства которых не зависят от конфигурации выводов,

- цепи с распределенными параметрами, элементы которых обладают активным сопротивлением, индуктивностью или емкостью,

- линейные цепи с постоянными параметрами (линейные цепи),

- линейные цепи с переменными параметрами (параметрические),

- нелинейные цепи.

Линейные цепи – это соединение активных и пассивных элементов, параметры которых не зависят от протекающих по ним токов и приложенных напряжений. Поэтому связь вход-выход цепи описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

(3.1)

3.1. Методы анализа процессов в линейных цепях.

Известны следующие четыре метода анализа линейной цепи:

1. Классический метод основан на решении дифференциальных уравнений (3.1) и наиболее удобен при анализе прохождения импульсных сигналов, но сложен при уравнениях выше 3^го порядка.

2. Спектральный метод. Свойства линейной цепи можно определить частотным коэффициентом передачи , определяемым из уравнения (3.1) при гармоническом входном сигнале , где

; (3.2)

- АЧХ линейной цепи;

φ(ω) - ФЧХ цепи.

Согласно спектральному методу, спектр выходного сигнала при известном равен

, (3.3)

а сам сигнал - обратному преобразованию Фурье

(3.4)

3. Операторный метод -является более общим, по сравнению со спектральным методом решения линейных дифференциальных уравнений (3.1), и заключается в замене мнимой частоты jω преобразования Фурье комплексной частотой р=α+jω, где α –вещественная величина.

Изображение преобразования Лапласа равно при t ≥0

(3.5)

Оригинал равен обратному преобразованию Лапласа

, (3.6)

В этом случае из уравнения (3.1) по аналогии с (3.2) можно получить операторный коэффициент передачи линейной цепи

, (3.7)

который, при делении полинома числителя на знаменатель, можно записать в виде произведения

(3.8)

Нули z_i числителя и полюса p_i знаменателя, определяемые коэффициентами a_n и b_m, могут быть вещественными, либо комплексно-сопряженными парами и расположены в левой полуплоскости рис.3.1.

Рис.3.1. Нули z_i числителя и полюса p_i знаменателя.

Решение уравнения (3.1) операторным методом реализуют при условиях: u_вх(t)=0 при t≤0;

• u_вых(0)=0, нулевые начальные условия.

Алгоритм нахождения выходного сигнала по входному при известном К(р)·:

- запись изображения входного сигнала u_вх(t)→ U_вх(р);

- найти изображение выходного сигнала U_вых(р)=К(р)·U_вх(р);

- вычислить оригинал U_вых(р)→ u_вых(t).

4. Метод интеграла Дюамеля.

Аналогом коэффициента передачи К(jω) (при гармоническом входном сигнале) в частотной области является импульсная характеристика h(t) во временной области, получаемая при входном воздействии в виде дельта-функции δ(t).

Для реальных линейных цепей (h(t)=0 при t<0) можно записать:

(3.9)

т.е. выходной сигнал равен свертке входного сигнала и h(t).

При этом известно прямое и обратное преобразование Фурье

(3.10)

(3.11)