5. Примеры решения 1 гпз для случая, когда обе пересекающиеся фигуры общего положения

Алгоритм решения.

1. Прямую заключают во вспомогательную плоскость.

2. Строят линию пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью.

3. Линия пересечения с заданным отрезком прямой пересекаются, так как лежат в одной вспомогательной плоскости. Полученные точки (точка) пересечения и будут искомые.

Независимо от того, какая поверхность пересекается с отрезком прямой, метод решения всегда одинаков.

Пример 1 (рис. 6). Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а c октаэдром .

Сначала надо начертить проекции определителя поверхности – направляющей ABCD и вершин E и F (рис. 6а). Затем построить проекции поверхности октаэдра  - проекции ребер, проходящих через вершины ломаной направляющей A,B,C,D и точки E и F (рис. 6б).

Видимость ребер можно определить визуально, без помощи конкурирующих точек. Вершина D, принадлежащая направляющей, расположена дальше других вершин этой же направляющей, значит, ребра FD и ED, проходящие через нее, будут относительно П₂ невидимыми. Невидимыми относительно этой же плоскости проекций будут звенья направляющей AD и DC, а значит, и грани АED, AFD, DEC, DFC.

Рис.6

Относительно П₁ видимыми будут те ребра и грани, которые расположены выше направляющей ABCD – DEA, CED. BEC, AEB.

Решение

Отрезок прямой а заключим во фронтально – проецирующую плоскость

 (а₂  ₂). Вспомогательная плоскость  пересечет поверхность октаэдра . Линией их пересечения m ,будет плоская ломаная линия. Так как   П₂, следовательно, m₂  _2.

Горизонтальную проекцию m построим по принадлежности ее октаэдру , непроецирующей фигуре: точка 1  AF, значит, точка 1₁  А₁ F₁ ; точка

2  АВ  2₁  А₁ В₁ и т.д.

Определим видимость линии m относительно П₁. Видимыми будут те участки ломаной линии m, которые лежат на видимых гранях ABE, BEC, CED.

Отрезок прямой а и линия m принадлежат одной плоскости , следовательно, они пересекутся в точках M и N: m  a = M, N. Эти точки – искомые, так как принадлежат и прямой а и поверхности .

Определим видимость пересекающихся фигур относительно друг друга.

Между точками М и N отрезок прямой на обеих проекциях невидимый, так как находится внутри поверхности . Горизонтальная проекция отрезка до точки N₁ видимая, потому что точка N лежит на видимой относительно П₁ грани ВЕС. М₁ – невидимая, значит, горизонтальная проекция а от М₁ до А₁D₁ также невидимая, так как закрыта видимой гранью AED.

Видимость отрезка прямой относительно П₂ определяется аналогично.

Пример 1(рис. 7). Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а с поверхностью тора .

Сначала строим проекции поверхности тора  (рис.7б) и проекцииотрезка прямой а.

Решение

Отрезок прямой а заключаем в горизонтально – проецирующую плоскость , ₁  а₁.

Вспомогательная плоскость  пересекает поверхность тора . Линия пересечения этих фигур – плоская кривая m:

  =m .

Так как   П_1, следовательно, m₁  ₁.

Рис.7

Фронтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности .

Построение любой кривой начинают с построения главных точек.

В данном примере главные точки: 1, 6 – оганичивающие кривую, 3 – высшая, 4 – определяющая границу видимости кривой m относительно П₂. Остальные точки – промежуточные.

Фронтальные проекции большинства точек строим по принадлежности параллелям – окружностям, проекции которых на П₂ вырождаются в отрезки прямых. Фронтальные проекции точек 1 и 6 строим по принадлежности линии обреза, точки 4 – по принадлежности очерковой образующей.

Высшая точка кривой при пересечении поверхности вращения с плоскостью лежит в осевом сечении поверхности, перпендикулярном секущей плоскости. Поэтому сначала выделяем точку 3₁ (см. рис. 7б) и при помощи окружности, касательной к ₁ строим точку 3₂.

Видимость линии m относительно П₂ определяем по принадлежности ее поверхности тора. Часть линии, проходящей через точки 1, 2, 3, и 4, будет видимой, так как лежит на видимой части поверхности.

Отрезок прямой а принадлежит . Линия m также принадлежит , следовательно, линия m пересекается с а в точках М и N, где М и N – искомые точки:

a  ; m    a  m = M, N

Определяем видимость пересекающихся фигур относительно П₁ и П₂ и относительно друг друга.

Между точками М и N отрезок прямой а на обеих проекциях будет невидимый. Относительно П₁ эти точки видимые, значит, участки отрезка прямой, расположенные за ними будут видны. Относительно П₂ точка М – видимая, значит, участок прямой до точки М₂ также видимый, точка N – невидимая, участок прямой от N₂ до очерковой образующей – невидимый, так как закрыт поверхностью тора.