3.2. Поверхности вращения

Поверхности вращения на чертеже задают проекциями определителя (ось вращения и образующая), линиями очерка и обреза.

В методических указаниях к выполнению эпюра №1 рассмотрено достаточное количество поверхностей вращения.

При построении конусов вращения линию обреза надо задать окружностью.

Если ось вращения есть горизонталь или фронталь (рис.2), то одна проекция окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный проекции оси и равный диаметру окружности. Другая проекция этой линии представляет собой эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности, а малая определяется построением. Направление малой оси эллипса совпадает с проекцией оси вращения, а большая ось перпендикулярна малой.

Разница между большой и малой осями эллипса не должна быть слишком большой или слишком малой. Поэтому угол наклона проекции к оси вращения рекомендуется задавать от 35 до 47 (рис. 2).

Для более точного задания эллипса необходимо построить не менее 12 точек (см. приложение 1).

Очерковые образующие конуса следует проводить касательными к эллипсу (рис. 2), точки К₂ и - точки касания.

Образующая эллипсоида вращения – эллипс, который задается двумя осями (см. приложение 1).

Рис.2

3.3. Линейчатые поверхности общего вида

Линейчатые поверхности общего вида задают проекциями направляющей, дискретного каркаса из 12 –16 образующих и линии обреза. Для цилиндрических поверхностей одну проекцию линии обреза надо задать произвольно, а вторую построить.

Например, задана фронтальная проекция n₂ (рис. 3а) линии обреза, а горизонтальная проекция построена по принадлежности точек образующим этой поверхности.

Видимость очерковых линий поверхности относительно П₁ и П₂ определяется отдельно по конкурирующим точкам.

ВНИМАНИЕ! Без обозначения конкурирующих точек задача не подлежит проверке.

На рис. 3б направляющая т видна относительно П₂,так как точка 1, принадлежащая ей, расположена ближе точки 2. Относительно П₁ видна образующая l, так как ей принадлежащая точка 3 расположена выше точки 4.

После построения проекций поверхности следует переходить к решению задачи №1.

4. Примеры решения 2гпз для случая пересечения проецирующей и непроецирующей поверхностей.

Прежде чем решать задачи на пересечение поверхностей, надо определить количество линий пересечения и их характер.

Количество линий пересечения зависит от вида пересечения фигур:

1. при проницании – две линии;

2. б) при вмятии – одна линия;

3. в) при проницании с точкой касания – две линии с одной общей точкой.

Характер линии пересечения зависит от того, какие поверхности пересекаются:

1. две кривые поверхности – пространственная кривая линия;

2. кривая и многогранная поверхности – пространственная линия кривая, состоящая из нескольких плоских кривых (количество плоских кривых зависит от количества граней многогранной поверхности, пересекающихся с кривой поверхностью);

3. две многогранные поверхности – пространственная ломаная линия.

Независимо от того, какие поверхности пересекаются, алгоритм решения будет одинаковый, а именно:

1. Одна проекция линии (линий) пересечения задана на чертеже. Эта проекция принадлежит главной проекции проецирующей фигуры.

2. Вторая проекция линии (линий) пересечения определяется по принадлежности непроецирующей фигуре.

Таким образом, решение задач сводится к решению задач на принадлежность точек и линий поверхности.

Рис.3

Пример 1 (рис. 4). Построить линии (линию) пересечения поверхностей сферы  и цилиндра вращения .

Сначала строим две проекции сферы и недостающую проекцию цилиндра вращения. Вид пересечения – проницание. Значит, линий пересечения будет две:    = m, . Обе поверхности являются поверхностями вращения второго порядка. Следовательно, при их пересечении получатся пространственные кривые второго порядка.

Решение.

Поверхность цилиндра  - проецирующая относительно П_1, следовательно, горизонтальные проекции двух пространственных кривых линий пересечения совпадают с горизонтальной проекцией (главной проекцией) цилиндра m₁ ,  ₁

Фронтальные проекции обеих линий строим по принадлежности поверхности сферы.

Начинать построение фронтальных проекций линий пересечения следует с главных точек. Такими являются точки 1 и 7 как высшие и низшие точки, лежащие в общем осевом сечении поверхностей вращения (рис.4б, горизонтальная проекция); точки 2, и 8, как самые ближние и дальние; точки 5, и 11, как точки, лежащие на границе видимой и невидимой частей линий пересечения.

Для построения фронтальных проекций точек проводим окружности – параллели на поверхности сферы. Например, проводим окружность через точки 1₁ и 3₁. Горизонтальная проекция такой окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный оси сферы. Радиусом, равным половине этого отрезка, строим ее фронтальную проекцию, которая на П₂ изображается в истинном виде. Точки 1₂ и 2₂ принадлежат этой окружности.

Аналогично строим проекции всех остальных точек (и характерных и промежуточных) на П_2.

Соединять построенные точки нужно в той же последовательности, что и на горизонтальной плоскости проекций, плавной кривой линией с последующей лекальной обводкой.

Решая вопрос видимости искомых линий относительно каждой плоскости проекций, надо помнить, что линии пересечения принадлежат обеим поверхностям одновременно. Поэтому видимыми будут те участки линий, которые лежат в зоне видимости обеих поверхностей относительно данной плоскости проекций.

Относительно П₂ в зоне видимых точек будут лежать точки 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5.

Участки кривых, лежащих между точками 5, 6 и 10, 11, находятся в области видимых точек поверхности сферы, но невидимых точек поверхности цилиндра, поэтому будут невидимыми.

Вывод. В данном примере определение видимости линий пересечения относительно П₂ сводится к определению видимости точек на поверхности цилиндра.

Рис. 4

Пример 2 (рис.5). Построить проекции линии (линий) пересечения поверхности эллипсоида вращения  с призматической поверхностью .

После построения проекций поверхностей определяется вид пересечения. В данном примере вид пересечения – вмятие. Из этого следует, что линия пересечения – один замкнутый контур.

При пересечении эллипсоида одной плоскостью линией пересечения будет плоская кривая - эллипс или дуга эллипса. А так как поверхность призмы состоит из четырех граней, то линия пересечения ее с поверхностью эллипсоида вращения представляет собой пространственный контур из плоских кривых – дуг эллипсов.

Поверхность призмы фронтально – проецирующая, главная проекция ее – фронтальная проекция ₂. Поэтому фронтальная проекция линии пересечения принадлежит ₂:

   = m, так как   П₂  m₂  ..

Решение

Горизонтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности , эллипсоиду вращения, т.е. по принадлежности ряда точек линии m поверхности эллипсоида . Рассмотрим построение одной из дуг эллипса, которая получается от пересечения грани cd с поверхностью эллипсоида вращения. Фронтальная проекция ее совпадает с фронтальной проекцией грани. Малая ось эллипса определяется точками А и В, которые на П₂ являются пересечением продолжения грани cd с главным меридианом эллипсоида вращения.

Большая ось 3 - ( на П₂ ) вырождается в точку и делит отрезок АВ пополам. К главным точкам дуги эллипса относятся также точки, лежащие на экваторе, это точки 2 и , а также точки пересечения ребер с и d с поверхностью – точки, ограничивающие дугу эллипса (1 и , 5 и ).

Горизонтальные проекции этих точек, а также любых промежуточных строим по принадлежности параллелям эллипсоида. Например, точки 5 и лежат на параллели – окружности, фронтальная проекция которой вырождена в отрезок прямой, равный диаметру этой параллели и перпендикулярный оси вращения i₂, а горизонтальная проекция – окружность в истинном виде.

Линии пересечения остальных граней с поверхностью строим аналогично.

Определение видимости линии пересечения двух поверхностей относительно П₁ в данном примере сводится к определению видимости точек на поверхности призмы. Две верхние грани призмы видимые, поэтому и линии, принадлежащие им, видимые.

Рис.5