Приклад афінних перетвореннь
Завдання:Як показано на малюнку зробити повернення фігури ABCDEFGH проти годинникової стрілки на кут П/2,та масштабування в 1/2 рази відносно точки Т.
1.Створимо опис даної фігури:
A(2;3),B(6;3),C(6;8),D(10;8),E(10;12),F(6;12),G(6;16), H(2;16).
За цим описом зробимо матричний опис фігури в однорідній системі координат {x,y,1};
Далі здійснимо перенесення центру обертання в початок координат:
Потім здійснимо обертання на П/2 відносно початку координат.Тобто:
Перенесення центру обертання в вихідне положення здійснюється шляхом множення одержаної матриці на приведену нижче матрицю:
-де (m,n)-вихідне положення центру обертання;
Виконуючи множення отримуємо необхідну матрицю:
2.Комплексне перетворення
Сукупність перетворень обчислюється за формулою:
де А-матриця початкових координат; (m,n) - вихідне положення центру обертання.
Підставивши значення А, m та n, ми отримаємо матрицю
An яка вже була порахована вище і дорівнює:
Потім отриманий об'єкт масштабуємо в 1/2 раза:
В результаті отримали опис об'єкту в однорідному базисі{x,y,1}.
Побудуємо цей об'єкт:
Основи трьохмірного перетворення
Введемо однорідні координати для трьохмірних об'єктів. Тоді { x,y,Z} задаються у вигляді { x,y,Z, I} або {X,Y,Z,I} або { X,Y,Z, H}. Перетворення описуються виразом
{ X,Y,Z, H} = { x,y,z,1} T і { x*,y*,z*, 1} ={
},
де T - матриця перетворень.
Узагальнена матриця перетворень 4 x 4 для трьохмірних однорідних координат має вигляд : Т=
Ця матриця може бути надана у вигляді чотирьох окремих частин:
Матриця 3x3 здійснює безліч перетворень - змінення масштабу, зсув, обертання. Матриця 1x3 робить перенос, а матриця-стовпець 3x1 - перетворення в перспективі. Останній скалярний елемент 1x1 виконує загальне змінення масштабу. Повне перетворення виконується впливом на вектор положення матриці 4x4. В цьому випадку нормалізуючий перетворення вектор називають білінійним перетворенням. Дана матриця забезпечує комплекс операцій: зсув, змінення масштабу, обернення, дзеркальне відображення, перенесення і повне змінення масштабу.
Трьохмірна зміна масштабу. Діагональні елементи основної матриці перетворення 4x4 здійснюють часткове і повне перетворення. Так, часткове перетворення масштабу виконується матрицею
{X,Y,Z,1}=
{ax,
ly, jz,1} = {x*,y*,Z*,1}.
Загальне змінення масштабу робиться четвертим діагональним елементом:
Трьохмірний зсув
Недіагональні елементи верхньої лівої матриці 3x3 здійснюють зсув за трьома координатами (мал. 5):
Трьохмірне обернення
З метою спрощення математичного описування виконаємо операції трьохмірного обернення, розглянемо випадок обернення відносно однієї з осей. При цьому використовується математичний апарат, розглянутий для випадку обертання двомірних зображень. Матриця перетворення має нулі у стовпці матриці відповідних осей обернення з одиницею на головній діагоналі.
Наприклад, матриця перетворення при оберненні відносно осі y можна записати у вигляді
На мал.6 надано обернення кута p/2 відносно осі Y. Матриця перетворення для обернення відносно осі Z має вигляд
Для будь-якої матриці обернення детермінант дорівнює I. Обернення відносно довільної осі, дзеркальне відображення, а також основи перспективної геометрії описані у багатьох роботах по машинній геометрії.