Перетворення прямих ліній

Операції перетворень виконуються для кінцевих точок. Як приклад розглянемо зсув вектора зміною положення його кінцевих точок. При прямому переносі точок збільшується також і масштаб. Важливе значення має внесення констант переносу всередину структури загальної матриці. С цією метою вводять треті компоненти у вектори точок {X,Y},{X*,Y*}. Тоді точки надаються у вигляді {X,Y,1}, {X*,Y*,1}.

Розмірність матриці перетворень стає 3x2:

Це обумовлено тим, що для множення необхідно, щоб число стовпчиків в матриці опису дорівнювало кількості рядків в матриці перетворень

Константи m та n викликають зміщення x*, y* відносно x, y. Оскільки матриця 3x2 не квадратна, вона не має зворотньої матриці. Цей недолік можна ліквідувати, доповнивши матриці перетворень до 3x3, наприклад, наступним чином:

Тут третя компонента векторів положення точок не змінюється при додаванні третього стовпця до матриці перетворень і перетворений вектор має вигляд {x *, Y*,1}. Додавання третього елемента до вектора положення і третього стовпця до матриці перетворень дозволяє виконати зсув вектора положення. Третій елемент може розглядатись як додаткова координата вектора положення. Так вектор {x , Y, 1} при впливі на нього матриці 3x3 стає вектором {x , Y, H}. В розглянутому випадку {X, Y, H} = {X*, Y*, 1}, що означає перетворення у трьохмірному просторі (в цьому випадку обмеженого площиною), так як H = I. Якщо третій стовпчик

матриці перетворень Т розміру 3x3 відрізняється від

,

тоді в результаті матричного перетворення отримуємо {x , y, 1} = {X , Y, H}, де H = I.

Площина, в якій знаходиться вектор, розташована у трьохмірному просторі. Тоді компоненти вектора X* і Y* отримуємо за допомогою пучка променів, які проходять через початок координат (мал.3). З подібності трикутників H/x = 1/x*, H/Y = 1/Y*.

При цьому компоненти наступні:

Заміна n-мірного вектора (n+I)-мірним називається однорідно-координатним відтворюванням. Однорідне відтворювання n-мірного вектора виконується у (n+I)-m просторі, а результати отримують у n-мірному просторі за допомогою зворотнього перетворення. Так, двохмірний вектор { x, Y } надається трьохкомпонентним вектором {hx, h Y, h} , звідки

Не існує єдиного координатного надання точки у двомірному просторі. Так, точку {3, 2} в однорідних координатах можна записати у вигляді {12, 8, 4}, {6,.4,.2} і {3, 2, 1}. Перетворення

у додаткових координатах задається виразом в однорідних координатах

Рівність H = I додаткової координати означає, що перетворені однорідні координати дорівнюють початковим. Геометрично всі перетворення відбуваються в площині H = I після нормалізації перетворених однорідних координат. Переваги введення однорідних координат можна показати при використанні матриці перетворення 3 x 3:

За допомогою цієї матриці можна виконувати операції зсуву, зміни масштабу, дзеркального відображення і обертання. Елементи матриці a, b, c, d змінюють масштаб (зсув і обертання), m і n виконують зсув, P і q - отримання проекцій, S змінює масштаб (S > I - зменшує).

Зсув

Процедура здійснюється завданням m і n в матриці зсуву. Матриця перетворення має вигляд