Основи геометричного моделювання

Теоретичне забезпечення комп'ютерних систем містить математичний апарат будування, перетворення та редагування графічної і алфавітно-цифрової інформації, математичні засоби, методи розробки і дослідження комп'ютерних систем. Розглянемо ці два напрямки теоретичного забезпечення. Необхідно відзначити, що математичний апарат, що використовується для машинної графіки, розглядається як геометричне моделювання.

Геометричне моделювання засновано на традиційних математичних методах аналітичної геометрії, які забезпечують введення і перетворення двохмірних і трьохмірних об'єктів з урахуванням обмежень умов, пов'язаних з організацією взаємодії, можливостями засобів відображення, станом обчислювальної техніки. Основи аналітичної геометрії, що використовуються, враховують сучасні досягнення в цій галузі. Широко застосовуються матричні методи опису і перетворення інформації.

Загальні принципи опису і виконання основних перетворень геометричного моделювання стають зрозумілими при вивченні відомих методів матричного надання зображень і алгоритмів їх перетворень.

Надані далі засоби опису стали класичними і широко використовуються в практиці геометричного моделювання. Вони реалізовані в стандартах GKS (двохмірна графіка) і у PHIGS (трьохмірна графіка), і у OpenGL і в інших системах та програмах. Існує їх реалізація у вигляді СБІС.

Багато з сучасних праць у галузі машинної геометрії пов'язані з удосконаленням цих методів в частині скорочення часу виконання (можливість паралельного виконання як варіант обробки і використання апаратурних реалізацій). Крім того, застосування цих алгоритмів в прикладній галузі викликає необхідність в їх модифікації, розширенні, під'єднанні нових можливостей. Так зараз знайдені ефективні засоби вилучення невидимих ліній керування динамікою трьохмірних об'єктів і т.д.

Зображення точок

На площині точка надається координатами {X,Y}, а у просторі - {X,Y,Z} або у вигляді вектор-стовпчика на площині

, у просторі .

Таким чином зображення у комп'ютері може бути надано у вигляді матриці координат положення кінців векторів. Якщо відомі матриці A і B та визначений їх зв'язок AT = B, де T - матриця, то T = A-I B, де A-I - зворотня від квадратної матриці A. Інтерпретація матричного множення як геометричного оператора - основа машинної геометрії.

Перетворення точок

Розглянемо матричне множення матриці {XY}, визначаючій точку R, і матриці 2x2:

Таким чином, координати точки X,Y перетворюються в координати точки X*, Y*. Проаналізуємо випадок, коли a, b, c, d дорівнюють Iv0 (1 чи 0).

Якщо a = d = I і c = b = 0, то

при цьому координати R не змінюються. Якщо a = I, b = c = 0, то

При цьому змінюється масштаб, тобто X* = ax, а це відповідає переміщенню вихідної точки у напрямку X. Інші випадки одночасно з їх геометричною інтерпретацією надані на мал. 4:

Розглянемо додатково випадок, коли координати точки R не змінюються, а Y* лінійно залежить від початкових координат. Нескладно показати, що початок координат є інваріантним при перетворенні 2x2. Цей недолік усувається використанням однорідних координат

для початку координат