Лінійна кореляція

Якщо обидві лінії регресії Yа X і X на Y – прямі , то кореляцію називають лінійною.

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на X має вигляд

–= f_в(x –)

Де - умовна середня ; - i вибіркові середніх ознак X і Y; δх і δу - вибіркові середні квадратичні відхилення; f_в – вибірковий коефіцієнт кореляцій, причому ƒ_в =

Якщо дані спостережень над ознаками X і Y задані у вигляді кореляційної таблиці з рівновіддаленими варіантами, то доцільно перейти до умовних варіантів: u_i = (x_i – c₁)/h₁, v_j = (y_j – c₂)/h₂, де C₁- помилковий нуль варіант X (новий початок відліку); у якості хибний нуля вигідно прийняти варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду; h₁ - крок, тобто різниця між двома сусідніми варіантами X; С₂ – хибний нуль варіант Y; h₂ – крок варіант Y.

В цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції ƒ_в=, величини можуть бути знайдені безпосередньо за формулами:

Для оцінки сили лінійного кореляційного зв'язку служить вибірковий коефіцієнт кореляції ƒ_в .

Завдання для аудиторної контрольної роботи

Варіант №1

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

20 16 15 12 9 12 21 20 16 19

2. За даними 16 незалежних рівноточкових вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань = 42,8 і

„виправлене" середнє арифметичне відхилення s = 8. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю γ = 0,999.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 251 до 2900.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7 10 9 10 11 12 13 14 13 15 6

5. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	10		15	20	25	30	35	40
24	1		2
зо			2	3	1
36				4	5
42					3	2	5
48					4	1	1
54						3	2	5
60						1	3	2

Варіант №2

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

14 10 12 14 15 13 14 12 12 14

2. За даними вибірки об'єму п = 16 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 1 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 651 до 3450.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 11 12 13 14 13 15 14 15 13

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	14		18	22	26	30	34	38
110	2
122	1		1	1	1
134	1		1	5	3
146			1	5	4	2
158				1	5	10	1
170						3	3	1
182						1	3	5

Варіант №3

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 11 12 13 14 13 15 14 15 13

2. Знайти найменший об'єм вибірки, за якого з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ = 1,5.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 501 до 3100.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13 8 7 18 16 10 6 21 23 12

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	12		14	16	18	20	22	24
110	1		1
130			2	3
150				4	5
170					7	8	9
190						10	1	2
210							4	5
230								8

Варіант №4

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 6 9 10 6 5 11 9 7 4

2. Проведено 12 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення 5 випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,6. Знайти точність приладу з надійністю 0,99. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 751 до 3600.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 4 7 11 12 4 12 14 8 9 11

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	5	10	15	20	25	30	35
100	3	4	5
120		1	2
140				3	1	5
160				4	1	2
180					3	4	6
200						2	1
220							3

Варіант №5

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 6 9 10 6 5 11 9 7 4

2. За даними вибірки об'єму n = 10 із генеральної сукупності нормально розподіленої якісної ознаки знайдене „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 5,1. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 801 до 3550.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 6 9 10 6 5 11 9 7 4

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	100		110	120	130	140	150	160
5	2		1
10			3	4	5
15				4	2
20					3	2	1
25						7	8
30							9	10
35								9

Варіант №6

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 10 11 21 15 6 8 14 13 22

2. Проведено 10 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення 5 випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,8. Знайти точність приладу з надійністю 0,95. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 451 до 2950.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 10 11 21 15 6 8 14 13 22

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	7	10	13	16	19	22	25
120	1	2
140		3	4	5
160			4	3
180				7	8
200				8	4
220						5	3
240							3

Варіант №7

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 13 8 23 15 23 14 12 11 9 6

2. За даними вибірки об'єму п = 28 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 2,4 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 351 до 3050.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7 8 10 8 11 12 13 12 9 13 6

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	20	24	28	32	36	40	44
56	3	4
58		1	1
60		4	4
62			3	4	2
64			1	5	10	1
66					3	3	1
68					1	3	5

Варіант №8

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

14 7 8 6 15 23 14 21 12 14 10

2. За даними вибірки об'єму п = 20 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s= 3,2 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 801 до 3450.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

20 16 15 12 9 12 21 20 16 11 19

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	7	10	13	16	19	22	25
88	1	1
100	3	4	2	1
112			5	3
124			4	4	2
136			1	3	10	4
148					5	6	4
160					6	2	1

Варіант №9

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 10 11 21 15 6 8 14 13 22

2. Проведено 19 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення 5 випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 1,2. Знайти точність приладу з надійністю 0,95. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 651 до 3250.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

11 13 15 14 19 17 8 10 11 12

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	11	15	19	23	27	31	35
110	2
122	1	1	1	1
134	1	1	5	3
146		1	5	4	2
158			1	5	10	1
170					3	3	1
182					1	3	5

Варіант №10

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

20 16 15 12 9 12 21 20 16 13 19

2. За даними вибірки об'єму n = 17 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 1,2 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 451 до 3250.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

4 5 6 7 8 9 10 11 12

20 16 15 12 9 12 21 20 16

5. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	22	32	42	52	62	72	82
90	6
100	2	4	3
110	1	1	4	2
120		1	3	4	2
130			1	5	8	1
140					4	4	2
150					2	3	4

Варіант №11

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

11 13 15 14 19 17 8 10 11 12

2. Проведено 30 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення 5 випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,4. Знайти точність приладу з надійністю 0,99. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 501 до 3150.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

19 15 12 18 24 9 6 13 17 6

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	9	12	15	18	21	24	27
55	1	1	1
61	2	3	4
67		1	2	4	1
73			5	4	2
79			1	5	5	1
85					2	2
91					1	1	1

Варіант №12

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13 8 7 18 16 10 6 21 23 12

2. Знайти найменший об'єм вибірки, за якого з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,3, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ = 1,2.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 701 до 3400.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 16 17 12 8 14 21 15 16 7 10

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	9	13	17	21	25	29	33
70	1	1	1
84	2	3	4
98	1	1	3
112		2	2	1	3
126			2	1	3	3
140					1	1	1
154					1	1	1

Варіант №13

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12

20 16 15 12 9 12 21 20 16

2. За даними вибірки об'єму п = 14 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 0,7 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 651 до 2050.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 23 10 20 15 14 17 12 14

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	11	21	31	41	51	61	71
20	1	1	1
30	1	2	3	1
40		1	1	1
50			2	3	3
60				1	1
70					1	1
80						5	3

Варіант №14

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

19 15 12 18 24 9 6 13 17 6

2. Знайти найменший об'єм вибірки, за якого з надійністю 0,98 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,4, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ = 1,1.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 751 до 3350.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14 20 14 12 15 8 9 17 10 11

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	25	30	35	40	45	50	55
15	1
20	1	2
25		2	5	5
30			2	3
35				1	1	1
40					5	8	2
45						1	1

Варіант №15

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 16 17 12 8 14 21 15 16 7 10

2. За даними вибірки об'єму n= 50 із генеральної сукупності нормально розподіленої якісної ознаки знайдене „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 14. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 901 до 3700.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим

розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

8 9 12 8 14 13 15 16 11 9

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	45	49	53	57	61	65	69
62	2
67	1	1	1	1
72	1	1	5	3
77		1	5	4	2
82			1	5	10	1
87					3	3	1
92					1	3	5

Варіант №16

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 23 10 20 15 14 17 12 14

2. Проведено 15 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення 5 випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,9. Знайти точність приладу з надійністю 0,999. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 851 до 3650.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

25 16 15 13 9 17 21 20 14 12

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	20	26	32	38	44	50	56
110	1	1	1
122	1	2	3	1
134			2	2
146				1	2	1
158				3	4	5
170					2	6
182					1	1	1

Варіант №17

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

17 12 21 13 15 14 25 20 14 23 15

2. За даними 25 незалежних рівноточкових вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань = 28,4 і „виправлене" середнє арифметичне відхилення s = 5,3. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю γ = 0,99.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 851 до 3600.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4 5 8 14 12 15 18 8 9 16 14

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	10	18	26	34	42	50	58
75	2
90	1	1	1	1
105	1	1	5	3
120		1	5	4	2
135			1	5	10	1
150					3	2	1
165					1	2	4

Варіант №18

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15 21 25 20 19 12 15 23 8 7

2. Проведено 14 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення s випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,7. Знайти точність приладу з надійністю 0,99. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 501 до 3450.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7 10 9 10 11 12 13 14 13 15 6

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	14	18	22	26	30	34	38
110	1	2
125	2	2	3
140		1	3	3
155			1	2	1
170				4	1
185					1	1	1
200						2	1

Варіант №19

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

25 16 15 13 9 17 21 20 14 12

2. За даними вибірки об'єму п = 22 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s= 2,1 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,95.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 301 до 3100.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7 10 9 10 11 12 13 14 13 15

2. Скласти рівняння регресії Y на X.

X Y	45	55	65	75	85		95	105
50	2	2
65		3	2
80			1	1		2
95				3	3		1
110					2		1
125							2	3
140							4	4

Варіант №20

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

14 12 23 15 18 9 12 21 20 14

2. Проведено 13 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення ^ випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,9. Знайти точність приладу з надійністю 0,95. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 350 до 3250.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

2. 5.Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	35	55	75	95	115		135	155
15	2
27	1	1	1	1
39	1	1	5	3
41		1	5	4	2
53			1	5	10		1
65					3		3	1
77					1		3	5

Варіант №21

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 16 15 12 9 12 21 20 16 19

2. Знайти найменший об'єм вибірки, за якого з надійністю 0,945 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,4, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ = 1,8.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 601 до 3200.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14 12 23 15 18 9 12 21 20 14

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	72	80	88	96	104		112	120
15	2
20	1	1	1	1
25	1	1	5	3
30		1	5	4	2
35			1	5	10		1
40					3		3	1
45					1		3	5

Варіант №22

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14 20 14 12 15 8 9 17 10 11

2. За даними вибірки об'єму п = 20 із генеральної сукупності нормально розподіленої якісної ознаки знайдене „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 3,8. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 401 до 2850.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

14 8 9 11 12 14 8 16 14 7

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	85	90	95	100	105		110	115
60	1
74	2	2	1
88	1	1	4	3
102		1	5	4		2
116			1	5	5		1
130					3		1	1
144							3	5

Варіант №23

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 14 26 12 19 21 14 10 11 13 7

2. За даними вибірки об'єму п = 25 із генеральної сукупності нормально розподіленої якісної ознаки знайдене „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 2,7. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 151 до 2700.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14 8 15 9 20 23 21 14 16 18

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	12	18	24	30	36	42	48
110	4
122	1	2	1
134	1	1	2	2
146			5	4	1
158			1	5	2	1
170					1	4	2
182						3	1

Варіант №24

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 21 15 25 12 19 8 6 14 13

2. Проведено 18 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення 5 випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,9. Знайти точність приладу з надійністю 0,99. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 201 до 2800.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5 7 6 14 13 16 17 5 18 9 14

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	14	18	22	26	30	34	38
65	2
75	1	1	1	1
85	1	1	5	3
95		1	5	4	2
105			1	5	10	1
115					3	3	1
125					1	3	5

Варіант №25

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14 8 15 9 20 23 21 14 16 18

2. Знайти надійність, за якої при об'ємі вибірки n = 197 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності сг = 1,5.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 251 до 2950.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14 5 17 7 9 8 14 12 13 12 15 14

5. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	10	15	20	25	30	35	40
100	2
108	1	1
116	1	1	5
124		1	5	4	2
132			1	5	4
140					3	3	1
148					1	3	5

Варіант №26

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

14 16 9 23 21 16 19 12 15 14

2. Проведено 20 вимірювань одним приладом (без систематичної помилки) деякої фізичної величини, причому „виправлене" середнє квадратичне відхилення s випадкових помилок вимірювань виявилось рівним 0,9. Знайти точність приладу з надійністю 0,95. Передбачається, що результати вимірювань розподілені нормально.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 301 до 3000.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

х_і 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

14 7 8 6 15 23 14 21 12 14 10

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	45	60	75	90	105	120	135
5	1	1
12	1	2	1
19		1	3	3
26			4	1	2
33				2	1	1
40					1	2
47					2	2	2

Варіант №27

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12

18 17 15 24 21 16 13 9 7

2. За даними 18 незалежних рівноточкових вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань = 25,4 і „виправлене" середнє арифметичне відхилення s = 10. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю γ = 0,95.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 351 до 3050.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 6 9 10 6 5 11 9 7 4

5. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	60	65	70	75	80	85	90
115	2
125	1	1	1	1
135	1	1	5	3
145		1	5	4	2
155			1	5	10	1
165					3	3	1
175					1	3	5

Варіант №28

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14 12 24 12 19 17 23 15 8 9

2. За даними вибірки об'єму n = 18 із генеральної сукупності знайдено „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 0,9 нормально розподіленої якісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,99.

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 401 до 3100.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10 11 12 13 14 13 15 14 15 13

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	7	14	21	28	35	42	49
55	1	1
62	1	2	2
69	1	1	2	3
76			1	2
83				3	3
90					1	2	1
97						2	2

Варіант №29

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

21 15 19 21 15 16 8 11 12 17 16

2. За даними 24 незалежних рівноточкових вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань = 47,3 і „виправлене" середнє арифметичне відхилення s = 12. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю γ = 0,999 .

3. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 451 до 3150.

4. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

14 8 9 7 12 11 6 4 13 18 5

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	60	76	92	108	124		140	156
35	1	3
42	2	2
49		5	6	1
56			2	2	3
63				5	2		1
70					1		1	1
77							2	1

Варіант №30

1. Побудувати емпіричну функцію розподілу. Обчислити , , .

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 23 24 15 17 18 9 21 13

1. За даними вибірки об'єму n = 15 із генеральної сукупності нормально розподіленої якісної ознаки знайдене „виправлене" середнє квадратичне відхилення s = 6,2. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середнє квадратичне відхилення σ з надійністю 0,999.

2. Для дослідження розподілу простих чисел натуральний ряд розбивається на інтервали довжиною 50. Розглянемо випадкову величину X - кількість простих чисел в інтервалі довжиною 50. Скласти таблицю розподілу частот, знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію величини X, якщо в ролі вибірки розглядається відрізок натурального ряду від 501 до 3200.

3. Знайти методом добутків середню і вибіркову дисперсію за заданим розподілом вибірки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13 8 7 18 16 10 6 21 23 12

2. Скласти рівняння регресії У на X.

X Y	85	90	95	100	105	110	115
10	2	2
24	1	1	1
38		1	3	2
52			1	1	1	1
66				2	1	3
80					1	2	2
94						3	5