4.4. Нахождение асимптот графика функции

Определение 9. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается уходящая в бесконечность ветвь графика функции.

Нахождение вертикальных асимптот. Если функция в точке непрерывна, то прямая не может быть асимптотой.

Так как элементарная функция непрерывна в области существования, то у элементарной функции вертикальные асимптоты могут быть только на границе области существования. Пусть - граничная точка области существования элементарной функции , тогда необходимо найти односторонние пределы . Если один из односторонних пределов равен , то прямая является односторонней вертикальной асимптотой. Если же лба односторонних предела равны , то прямая является двусторонней асимптотой.

Уравнение наклонной асимптоты записывается в виде . Параметры и находятся по формулам:

.

Оказывается при можно получить одну асимптоту, а при другую асимптоту отличную от первой.

Пример 16. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция является элементарной. Область определения ее состоит из трёх интервалов . Граничными точками области определения являются две точки и . Найдём односторонние пределы в точках .

. Прямая не является асимптотой.

. Прямая является двухсторонней асимптотой.

Остаётся выяснить наличие наклонных асимптот .

Таким образом, прямая является асимптотой как при , так и при .

Найти асимптоты графиков функций.

57. 58. 59. 60. 61.

4.5. Полное исследование функций и построение графиков

Приведём примерный план исследования функций.

1. Определить область существования функции. Область существования функции указывает точки оси аргумента, над которыми пройдёт кривая.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Исследовать функцию на периодичность. Для периодической функции достаточно построить график на промежутке длиной в период.

4. Исследовать функцию на четность и нечетность. Если функция четная или нечетная , то график функции достаточно построить при , а затем отобразить симметрично относительно оси в случае чётной функции или относительно начала координат в случае нечётной функции.

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7. Определить асимптоты.

8. Все данные свести в таблицу и построить график.

9. Если полученные результаты не дают ясной картины поведения графика, то следует нанести ещё несколько точек кривой в тех местах, где течение графика менее ясно.

Пример 17. Построить график функции .

Решение.

1. Область существования функции .

2. График функции с осями координат не пересекается.

3. Функция не является периодической.

4. . Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Найдем промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.

.

. Критические точки

Имеем:

	- график функции возрастает;
	- график функции возрастает;
	- график функции убывает;
	- график функции убывает;
	- график функции возрастает.

При переходе через точку производная меняет знак с + на , поэтому функция в точке имеет максимум, . При переходе через точку производная меняет знак с на +, функция в точке имеет минимум, .

6. Найдём промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

. При - график функции выпуклый; - график функции выпуклый; - график функции вогнутый.

7. Асимптоты для данной функции найдены в примере 16. Прямая - двухстороння вертикальная асимптота.

Полученные результаты запишем в таблице.

				0		1		2
	+	не сущ	+	0		не сущ		0	+
		не сущ				не сущ	+	+	+
		не сущ		max		не сущ		min 3

Рис. 2

Исследовать и построить графики следующих функций.

62.	69.
63.	70.
64.	71.
65.	72.
66.	73.
67.	74.
68.	75.