- •Введение
- •§1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •§2. Теоремы Лопиталя-Бернулли
- •§3. Формула Тейлора
- •§4. Исследование функций и построение графиков
- •4.1. Возрастание и убывание функций. Экстремумы
- •4.2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке
- •4.3. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба
- •4.4. Нахождение асимптот графика функции
- •4.5. Полное исследование функций и построение графиков
- •Использованная литература
Оглавление
Введение 3
§1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 3
§2. Теоремы Лопиталя-Бернулли 5
§3. Формула Тейлора 8
§4. Исследование функций и построение графиков 11
4.1. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 11
4.2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке 14
4.3. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба 15
4.4. Нахождение асимптот графика функции 16
4.5. Полное исследование функций и построение графиков 18
Использованная литература 22
Применение производной
Введение
Производная находит широкое применение при решении различных задач. В настоящей методической работе приведен необходимый материал без доказательства, который проиллюстрирован примерами. Далее приведены примеры для самостоятельного решения. Нами рассмотрены теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Теоремы Лопиталя-Бернули для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов, формула Тейлора и применение производной для исследования функций.
Для понимания материала и решения задач студенту необходимо знать таблицу производных и правила дифференцирования функций. Методическая работа может быть использована студентами и преподавателями на практических занятиях по данной теме.
§1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на концах отрезка принимает равные значения, т.е. , то существует точка такая, что . Точки, в которых , называются стационарными точками функции .
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то существует точка такая, что справедливо равенство
.
Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы в интервале и , то существует точка такая, что
.
Решить следующие задачи:
-
Функция имеет на концах отрезка равные значения (проверьте). Производная данной функции в интервале не обращается в нуль ни в одной точке (проверьте). Какие условия Теоремы Ролля для данной функции на отрезке не выполнены?
-
Пусть . Показать, что три корня уравнения действительны.
-
Доказать, что уравнение не имеет корней в интервале .
-
Пусть в интервале . Доказать, что на .
-
Пусть и удовлетворяют всем условиям Теоремы Коши на . Применим Теорему Лагранжа к функциям и , тогда получим . Из последних двух равенств получим:
(Формула Коши)
Найти ошибку в доказательстве.
§2. Теоремы Лопиталя-Бернулли
Раскрытие неопределённостей типа и
Первая теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть для функций и выполнены условия:
-
Функции и дифференцируемы в промежутке и
-
-
Существует предел . Тогда
Вторая теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть для функций и выполнены условия:
-
Функции и дифференцируемы в промежутке , причем
-
-
Существует предел . Тогда
Замечание. Теоремы Лопиталя-Бернулли справедливы и при .
Пример 1. Вычислить предел .
Решение.
Пример 2. Вычислить предел .
Решение.
Этот пример показывает, что степенная функция даже с очень большим показателем при растет медленнее, чем показательная функция.
Раскрытие неопределённостей типа
Неопределённость типа возникает при нахождении пределов от произведения двух функций, т.е. , где , а . В этом случае произведение записывают так, чтобы можно было воспользоваться первой или второй теоремой Лопиталя-Бернулли.
Пример 3. Вычислить предел .
Решение. В данном примере неопределённость , которую сведём к неопределённости и применим вторую теорему Лопиталя-Бернулли.
.
Пример 4. Вычислить предел .
Решение. Имеем неопределённость .
.
Мы воспользовались соотношением при . Применяя далее первую теорему Лопиталя-Бернулли, получим:
Неопределённости вида возникают при вычислении пределов . Для вычисления данного предела предварительно вычисляют предел . Отсюда следует, что .
Таким образом, раскрытие неопределенностей сводится к раскрытию соответственно неопределённостей , которые в свою очередь могут быть сведены к раскрытию неопределённостей или с применением соответствующих теорем Лопиталя-Бернулли.
Пример 5. Вычислить предел .
Решение. Имеем неопределённость . Предварительно вычислим предел . В данном случае мы использовали соотношение , и результат примера 3.
Пример 6. Вычислить предел .
Решение. Имеем неопределённость . Логарифмируя и применяя теорему Лопиталя-Бернулли, получим:
.
Отсюда имеем: .
Найти следующие пределы
6. |
14. |
22. |
7. |
15. |
23. |
8. |
16. |
24. |
9. |
17. |
25. |
10. |
18. |
26. |
11. |
19. |
27. |
12. |
20. |
28. |
13. |
21. |
29. |