4.2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке

Теорема 5. Если функция непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает свои наименьшее и наибольшее значения.

Теорема 6. Если функция достигает наименьшее (наибольшее) значение в точке внутри отрезка , то либо равно 0 либо не существует, т.е. является критической точкой.

Отсюда следует, что функция принимает наименьшее (наибольшее) значение либо в критической точке, либо на концах данного отрезка.

Пример 14. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

Решение. . Точка не является критической, т.к. она является концом отрезка . Теперь найдём значение функции в критической точке и на концах отрезка, т.е. в точках и .

.

Среди полученных значений выберем наименьшее и наибольшее. Они и будут соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции на данном отрезке.

- наименьшее значение

- наибольшее значение

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанных отрезках (если отрезок не указан, то во всей области определения).

38.	40.
39.	41.

Доказать следующие неравенства

42.	44. (4.29) ----//----	46. (4.35)
43. (4.28) (Ефимов)	45. (4.31)

47. На графике найти точку, расстояние от которой до точки будет наименьшим. Чему равно это расстояние?

48. .

49. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, одна вершина которого лежит в начале координат, другая – на графике функции , а вершина прямого угла на оси ?

4.3. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба

Определение 6. График функции называется выпуклым (вогнутым) в точке, если касательная, проведённая к кривой в этой точке, лежит над графиком (под графиком) в некоторой окрестности данной точки.

Определение 7. График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если график функции выпуклый в каждой точке этого интервала.

Определение 8. Пусть непрерывна в точке . Точка называется точкой перегиба, если при переходе через эту точку график функции меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость.

Теорема 7. Если функция дважды дифференцируема и () на интервале , то её график является выпуклым (вогнутым) на .

Часто область определения функции можно разбить на интервалы, в каждом из которых имеет постоянный знак. Эти интервалы ограничены точками, в которых или не существует.

Теорема 8. Пусть дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , причём или не существует. Если при переходе через точку меняет знак, то - точка перегиба.

Пример 15. Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

Решение.

		0		1
	+	0		0	+
		т. перегиба		т. перегиба

Таким образом, в промежутках , график функции вогнутый, а в промежутке - выпуклый; точки являются точками перегиба.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

50.	53.	56.
51.	54.
52.	55.