- •Введение
- •§1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •§2. Теоремы Лопиталя-Бернулли
- •§3. Формула Тейлора
- •§4. Исследование функций и построение графиков
- •4.1. Возрастание и убывание функций. Экстремумы
- •4.2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке
- •4.3. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба
- •4.4. Нахождение асимптот графика функции
- •4.5. Полное исследование функций и построение графиков
- •Использованная литература
§3. Формула Тейлора
Если функция в некоторой окрестности точки имеет производную, то для любого из этой окрестности справедлива формула Тейлора
или
где (по определению). Точка расположена между и . В данном случае остаточный член записан в форме Лагранжа.
Полагая в формуле Тейлора , получим формулу Маклорена.
Пример 7. Многочлен разложить по степеням .
Решение. Так как данный многочлен имеет степень 3, то все производные порядка выше 3 будут тождественно равны нулю. В данном случае .
По формуле Тейлора имеем:
.
Написать формулу Маклорена при для функций
Написать формулу Тейлора при для функций
.
Формула Тейлора (в частности Маклорена) часто используется в приближённых вычислениях.
или
.
При этом ошибка равна , где точка расположена между и .
Пример 8. Вычислить с точностью .
Решение. Рассмотрим функцию , которая бесконечное число раз дифференцируема на всей числовой оси, при этом . Поэтому для функции можно написать формулу Маклорена при любом .
,
где , точка расположена между 0 и .
При будем иметь:
, где
Отсюда имеем:
, при этом ошибка равна .
Оценим остаток, учитывая неравенство , . Подберём наименьшее , чтобы выполнялось неравенство . Легко видеть, что , т.к. . Следовательно, .
Вычислить с точностью до следующие значения
30. а) б) в) г)
§4. Исследование функций и построение графиков
4.1. Возрастание и убывание функций. Экстремумы
Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) в интервале , если , следует неравенство ().
Теорема 1. Если и обращается в нуль в точках, которые не заполняют полностью никакого отрезка внутри , то возрастает (убывает) в интервале .
Пример 9. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. . Так как , то на всей числовой оси; только в тех точках, где , т.е. в точках . Производная данной функции обращается в нуль в бесконечном числе точек, но эти точки не заполняют полностью никакого промежутка. Поэтому данная функция возрастает на всей числовой оси.
Пример 10. Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. . При , а при . Следовательно, в интервале данная функция возрастает, а в интервале убывает.
Определение 3. Функция в точке имеет экстремум, если в этой точке функция имеет максимум или минимум.
Необходимое условие экстремума.
Теорема 2. Если функция в точке имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю или не существует.
Это необходимое условие не является достаточным, т.е. производная в точке может быть равна нулю или не существует, а экстремума в этой точке функция может не иметь.
Пример 11. , но в точке данная функция не имеет ни максимума, ни минимума.
Пример 12.
Производная данной функции слева в точке равна 1, т.е. , справа в точке равна , т.е. . Следовательно, производная от данной функции в точке не существует. Легко видеть, что данная функция в точке экстремума не имеет, т.к. она на всей числовой оси возрастает.
Определение 4. Точка , в которой первая производная равна нулю или не существует, называется критической точкой.
Определение 5. Если , то точка называется стационарной.
Теорема 4. Если в стационарной точке существует вторая производная и , то в точке функция имеет максимум. Если , то в точке функция имеет минимум. Если , то требуются дополнительные исследования.
Пример 13. Найти точки экстремума функции .
Решение. Функция определена на всей числовой оси. Найдём критические точки.
-
В точке производная не существует.
-
.
-
0
+
0
не сущ.
+
1
max
0
min
Рис.1
Итак, функция в точке имеет максимум равный 1, а в точке имеет минимум равный 0.
Найти промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции.
31. |
34. |
37. |
32. |
35. |
|
33. |
36. |
|