7.2. Методы моделирования одномерных временных рядов

Динамика рядов экономических показателей в общем случае складывается из:

1. тенденции, характеризующей основную закономерность;

2. периодической компоненты, которая оказывает влияние на изучаемые показатели;

3. циклической компоненты, характеризующей цикличность колебаний показателей;

4. случайной компоненты (результат влияния множества факторов).

Под тенденцией понимают некоторое общее направление развития. Тренд характеризует основную тенденцию (закономерность) движения показателя во времени, свободную в основном от случайных воздействий.

Уравнение временного ряда выглядит следующим образом:

, (7.1)

где f(t) – систематическая составляющая, характеризующая основную тенденцию показателя во времени;

E_t – случайная составляющая.

Во временных рядах могут наблюдаться тенденции трех видов: тенденции среднего уровня, тенденции дисперсии,тенденции автокорреляции.

Тенденции среднего уровня характеризуют график временного ряда. Он выражается в виде функции f(t), вокруг которой варьируют фактические значения показателей.

Тенденции дисперсии – изменение отклонений эмпирических значений временного ряда от значений, вычисленных по уравнению тренда.

Тенденции автокорреляции – это тенденции изменения связи между отдельными уровнями временного ряда (результативным признаком).

Один из способов проверки гипотезы о наличии тенденции основан на сравнении средних уровней ряда. Для этого весь ряд разбивают на две одинаковые по числу части, каждая из которых рассматривается как самостоятельная выборочная совокупность. Если ряд имеет тенденцию, то средние должны существенно отличаться друг от друга.

Один из методов выявления тенденции разработан Ф.Фостером и А.Стюартом. Согласно этому методу необходимо определить величины U_t и l_t путём последовательного сравнения уровней ряда.

Если какой-либо уровень ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине U_t присваивается значение 1, а в остальных случаях она равна 0, т.е.:

(7.2)

и наоборот, если уровень ряда меньше всех предыдущих, то величина l_t равна 1:

(7.3)

Затем находятся величины S и d по формулам:

(7.4)

С помощью величины S можно проверить, существует ли тенденция изменения в дисперсиях, а с помощью величины d можно обнаружить тенденции в средней. С этой целью проверяется две гипотезы:

1. существенно ли отличается d от 0;

2. существенно ли отличается S от [M],

где [M] – математическое ожидание S.

Для проверки гипотезы рассчитывают значения величины Т по формуле:

(7.5)

где ₁ – средняя квадратическая ошибка S;

₂ – средняя квадратическая ошибка d.

Значения [M], ₁ и ₂ табулированы для различных значений n (приложение 2).

Значения Т₁ и Т_2, рассчитанные по формуле (7.5), сравниваются с табличными t_кр (приложение 3). Если t_кр>Т₁, то гипотеза о наличии тенденции средней подтверждается; если t_кр>Т₂, то гипотеза о наличии тенденции дисперсий подтверждается и наоборот.

Например, имеются следующие данные об урожайности пшеницы (табл.7.2)

Таблица 7.2

Исходные данные об урожайности пшеницы

Годы	Урожай ность, цент. с га, Yt	Ut	lt	Годы	Урожайность, цент. с га, Yt	Ut	lt
1989	14,1	0	0	1997	14,7	0	0
1990	9,3	0	1	1998	16,6	0	0
1991	19,4	1	0	1999	5,6	0	0
1992	19,7	1	0	2000	16,2	0	0
1993	5,4	0	1	2001	25,3	1	0
1994	24,2	1	0	2002	11,9	0	0
1995	13,8	0	0	2003	18,5	0	0
1996	24,5	1	0	-	-	-	-
						Ut=5	lt=2

Проверим наличие тренда по ряду (данные табл.7.2 ) методом Фостера-Стюарта. Используя формулу 7.2 , определим :

Ut=5; l_t=2;S=5+2=7; d=5-2=3.

Из приложения 2 при n=15 находим: [M]=4,636; ₁=1,521; ₂=2,153.

По формуле (7.5) рассчитаем Т₁ и Т₂:

Задавшись уровнем значимости =0,05 при «k» степеней свободы (k=n-1=15-1=14) по распределению Стьюдента (приложение 3), находим t_{кр(0,05;14)}=2,14, таким образом: t_кр>Т_1расч=2,14>1,39, т.е. гипотеза о наличии тенденции в средней подтверждается; t_кр>Т_2расч=2,14>1,55, т.е. гипотеза о наличии в дисперсиях, также подтверждается.

После установления наличия тенденции временного ряда переходят к его моделированию.