Групповая таблица

Группы предприятий по уровню энерговоору женности труда (х)	Количество предприятий в группе	Суммарная производи тельность по группе, т. грн.	Средняя производительность труда 1 рабочего по группе, т. грн.
6 - 7,49 (6,5) 7,5- 8,99 (8,25) 9,0- 10,49 (9,5) 10,5-11,99(11) 12,0-13,49(13)	5 4 3 5 8	17 18 20 39 67	3,4 4,5 6,7 7,8 8,4
Итого	25	161	6,44

Средняя производительность труда по всем 25 предприятиям составляет т.грн.

Различие в величине в корреляционной и групповой таблицах объясняется тем, что при расчете в табл.5.2 действительные значения y заменяются центральными значениями интервалов группировки.

Сравнив средние значения результативного показателя по группам, делаем вывод о росте производительности труда рабочего в зависимости от его энерговооруженности , т. е. в рассматриваемом примере имеем дело с прямой корреляционной зависимостью.

Для выявления наличия связи, ее характера и для выбора формы связи применяют графический метод. Используя данные табл. 5.1, построим точечный график – «поле корреляции», он имеет вид:

Рис.5.1. Зависимость производительности труда (y) от его энерговооруженности (х)

Нанесем на график (рис 5.1) средние значения результативного показателя (из табл. 5.3) и соединим последовательно отрезками прямых соответствующие им точки, получим эмпирическую линию связи. Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между показателями.

5.3. Измерение степени тесноты корреляционной связи в случае парной зависимости

Показатели степени тесноты связи дают возможность охарактеризовать

зависимость изменения результативного показателя от изменения признака- фактора. В известной мере они дополняют и развивают уже отмеченные выше приемы обнаружения связи.

Зная показатели тесноты корреляционной связи, мы можем решать следующие группы вопросов:

1) ответить на вопрос о необходимости изучения данной связи между показателями и целесообразности ее практического применения;

2) сопоставляя показатели тесноты связи для различных ситуаций, можно судить о степени различий в ее проявлении для конкретных условий;

3) сопоставляя показатели тесноты связи результативного показателя с различными факторами, можно выявить те факторы, которые в данных конкретных условиях являются решающими и главным образом воздействуют на формирование величины результативного показателя.

Для расчета линейного коэффициента корреляции используют формулу:

(5.2)

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между показателями. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной – знак минус.

Если с увеличением значений фактора результативный показатель имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений фактора результативный признак имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1. Если же с увеличением значений фактора результативный показатель имеет тенденцию к снижению, коэффициент корреляции может принимать значения в интервале от 0 до –1.

Используем данные таблицы 5.1 и рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

;

.

Полученная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о возможном наличии достаточно тесной прямой зависимости между рассматриваемыми показателями.

Квадрат коэффициента корреляции ( r²) носит название коэффициента детерминации. Для рассматриваемого примера его величина равна 0,7225, а это означает, что 72,25% изменения производительности труда объясняется изменением энерговооруженности.

Следует напомнить, что сама по себе величина коэффициента корреляции является не доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми показателями, а оценкой степени взаимной согласованности в их изменениях. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.

Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи? Поэтому возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы о результатах выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочных данных совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции. Например, для малого объема выборочной совокупности используется тот факт, что величина t_расч.при уcловии r=0, распределена по закону Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

Полученную величину t_расч. сравнивают с табличным значением t-критерия (число степеней свободы равно n-2). Если рассчитанная величина t_расч превосходит табличное значение критерия t, то практически невероятно, что найденное значение обусловлено только случайными совпадениями x и y в выборке из генеральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно нулю. Если же вычисленная величина t_расч. меньше, чем в таблице, то полагают, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности в действительности равен нулю и соответственно эмпирический коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля.

Применим указанный метод к оценке существенности корреляции между энерговооруженностью и производительностью труда 1-го рабочего. При объеме выборки, равном 25, и при условии, что величина коэффициента корреляции равна 0,85,

В таблице для числа степеней свободы k=n-2=25-2=23 и уровня значимости 1% находим, что t2,8 (приложение 1).

Таким образом, можно считать с вероятностью 99%, что в генеральной совокупности существует прямая зависимость между изучаемыми показателями, т.е. отличие выборочного коэффициента корреляции от нуля является существенным.

Проверку гипотезы об отсутствии связи можно сделать и без вычислений, пользуясь таблицей, составленной Р. Фишером. В этой таблице показывается величина коэффициента корреляции, которая может считаться существенной при определенном количестве наблюдений. При пользовании этой таблицей величину коэффициента корреляции следует искать для числа степеней свободы, равного n-2.

Краткая выдержка из таблицы значений коэффициентов корреляции при различных уровнях критерия значимости приведена в табл.5.4. В представленном примере коэффициент корреляции для оценки тесноты связи между показателями был рассчитан по 25 данным. По табл.5.4 находим, что коэффициент корреляции по данным выборки должен быть по крайней мере не ниже 0,5368, для того чтобы он мог считаться существенным при уровне значимости =0,01.

Таблица 5.4

n-2	=0.05	=0.02	=0.01
4	0,8114	0,8822	0,9172
8	0,6319	0,7155	0,7646
10	0,5760	0,6581	0,7079
13	0,5139	0,5923	0,6411
18	0,4438	0,5155	0,5614
20	0,4227	0,4921	0,5368
25	0,3809	0,4451	0,4869
30	0,3494	0,4093	0,4487
40	0,3044	0,3578	0,3972
50	0,2732	0,3218	0,3541
60	0,2500	0,2948	0,3248
70	0,2319	0,2737	0,3017
80	0,2172	0,2565	0,2830
90	0,2050	0,2422	0,2673
100	0,1946	0,2321	0,2540

При уровне значимости =0,05 мы могли бы считать существенной действительную связь при коэффициенте корреляции, равном или более 0,4227. По расчету линейный коэффициент корреляции получился равным 0,85.Сравнение расчетного и табличных значений линейного коэффициента корреляции дает основание предполагать действительное значение прямой связи между изучаемыми показателями в генеральной совокупности.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты

связи лишь в случае наличия линейной зависимости между показателями. При наличии же криволинейной зависимости линейный коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен 0, а потому в таких случаях рекомендуется использовать в качестве показателя степени тесноты связи эмпирическое корреляционное отношение .

(5.3)

, (5.4)

где — межгрупповая дисперсия;

— общая дисперсия результативного показателя;

— средние значения результативного признака в соответствующих группах;

— общая средняя для всей совокупности;

n_j — число наблюдений в соответствующей группе;

k — число выделенных групп;

— среднее значение результативного показателя.

Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть колеблемости результативного показателя , которая складывается под влиянием изменения фактора, положенного в основу группировки.

Определив общую и межгрупповую дисперсии , можно оценить ту долю, которую составляет изменение под действием фактора х в общем изменении результативного показателя y, т.е. найти отношение .

Для рассматриваемого примера, воспользовавшись данными табл. 5.3, определим ,и . В таблице 5.5 проведены расчеты ряда параметров.

Таблица 5.5

Группы Предприятий по уровню энерговоору женности труда (х)	Средняя производи тельность труда по группе, т. грн.
1	2	3	4	5
6 - 7,49 (6,5) 7,5- 8,99 (8,25) 9,0- 10,49 (9,5) 10,5-11,99(11) 12,0-13,49(13)	3,4 4,5 6,7 7,8 8,4	-3,04 -1,94 0,26 1,36 1,96	9,24 3,76 0,068 1,85 3,842	46,21 15,06 0,2 9,25 30,74
Итого	6,44			101,46

Определенный интерес представляет сопоставление величины линейного коэффициента корреляции и корреляционного отношения. Сравнив полученную величину с величиной r=0,85, полученной при расчете по несгруппированным данным, можно видеть, что незначительно меньше r. Когда связь между показателями уклоняется от линейной формы, то и r несколько отличаются по величине, причем больше r по абсолютной величине.

При проверке возможности использование линейной функции в качестве формы уравнения определяют разность квадратов ²- r², и если она менее 0,1, то считается возможным применять линейное уравнение корреляционной зависимости.