Розділ: «Елементи теорії ймовірності»

Лекція

Тема: Основні поняття теорії імовірності

Ціль: Вивчити основні поняття по даній темі.

План: 1. Введення

2. Операції над подіями

3. Частковість настання подій

4. Властивості частковості

Введення.

Теорія імовірності виникла як наука з переконання, що в основі масових випадкових подій лежать детерміновані закономірності. Теорія імовірності вивчає дані закономірності.

Наприклад: визначити однозначно результат випадання “орла” або “решки” у результаті підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакове число “орлів” і “решок”.

Випробуванням називається реалізація певного комплексу умов, що може відтворюватися необмежене число раз. При цьому комплекс умов містить у собі випадкові фактори, реалізація якого в кожному випробуванні приводить до неоднозначності результату випробування.

Наприклад: випробування - підкидання монети.

Результатом випробування є подія. Подія буває:

Достовірне (завжди відбувається в результаті випробування);

Неможливе (ніколи не відбувається);

Випадкове (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).

Наприклад: При підкиданні кубика неможлива подія - кубик стане на ребро, випадкову подію - випадання якої або грані.

Конкретний результат випробування називається елементарною подією.

У результаті випробування відбуваються тільки елементарні події.

Сукупність всіх можливих, різних, конкретних ісходов випробувань називається простором елементарних подій.

Наприклад: Випробування - підкидання шестигранного кубика. Елементарна подія - випадання грані з “1” або “2”.

Сукупність елементарних подій цей простір елементарних подій.

Складною подією називається довільна підмножина простору елементарних подій.

Складна подія в результаті випробування наступає тоді й тільки тоді, коли в результаті випробувань відбулася елементарна подія, що належить складному.

Таким чином, якщо в результаті випробування може відбутися тільки одна елементарна подія, то в результаті випробування відбуваються всі складні події, до складу яких входять ці елементарні.

Наприклад: випробування - підкидання кубика. Елементарна подія - випадання грані з номером “1”. Складна подія - випадання непарної грані.

Уведемо наступні позначення:

А - подія;

( - елементи простору (;

( - простір елементарних подій;

U - простір елементарних подій як достовірна подія;

V - неможлива подія.

Іноді для зручності елементарні події будемо позначати Ei, Q_i.

Операції над подіями.

1. Подія C називається сумою A+B, якщо воно складається із всіх елементарних подій, що входять як в A, так і в B. При цьому якщо елементарна подія входить і в A, і в B, те в C воно входить один раз. У результаті випробування подія C відбувається тоді, коли відбулася подія, що входить або в A або в B. Сума довільної кількості подій складається із всіх елементарних подій, які входять в одне з Ai, i=1, ..., m.



2. Подія C добутком A і B, якщо воно складається із всіх елементарних подій, що входять і в A, і в B. Добутком довільного числа подій називається подія яка складається з елементарних подій, що входять в усі Ai, i=1, ..., m.

3. Різницею подій A-B називається подія C, що складається із всіх елементарних подій, що входять в A, але не вхідних в B.

4. Подія називається протилежним події A, якщо воно задовольняє двом властивостям.

Формули де Моргана: і

5. Події A і B називаються неспільними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування.

Події A і B називаються неспільними, якщо вони не мають загальних елементарних подій.

C=A(B=V

Отут V - порожня множина.

Частковість настання події.

Нехай простір елементарних подій звичайно й складається з m елементарних подій. У цьому випадку в якості можливих ісходов випробувань розглядають 2­­ ^m подій - множина всіх підмножин простору елементарних подій  і неможлива подія V.

Приклад:

=(₁, ₂, ₃₎

A₁=V

A₂=(₁₎

A₃=(₂₎

A₄=(₃₎

A₅=(₁, ₂₎

A₆=(₂, ₃₎

A₇=(₁, ₃₎

A₈=(₁, ₂, ₃₎

Позначимо систему цих подій через F. Беремо довільну подію A(F. Проводимо серію випробувань у кількості n. n - це кількість випробувань, у кожному з яких відбулася подія A.

Частковістью настання події A в n випробуваннях називається число

Властивості частковості.

1. 

2. Частковість достовірної події дорівнює 1. _n(U)=1.

3. Частковість суми попарно неспільних подій дорівнює сумі частквостей.

Розглянемо систему A_i, i=1, ..., k; події попарно несумістні, тобто

Подія

Нехай у результаті деякого випробування відбулася подія A. По визначенню торби це означає, що в цьому випробуванні відбулася деяка подія A_i. Тому що всі події попарно несумістні, те це означає, що ніяка інша подія A_j (ij) у цьому випробуванні відбутися не може. Отже:

n=n₁+n₂+...+n_Ak

Теорія імовірності використовується при описі тільки таких випробувань, для яких виконується наступне припущення: Для будь-якої події A частковість настання цієї події в будь-якій нескінченній серії випробувань має той самий межу, що називається ймовірністю настання події A.

Отже, якщо розглядається ймовірність настання довільної події, то ми розуміємо це число в такий спосіб: це частковість настання події в нескінченній (досить довгої) серії випробувань.

На жаль, спроба визначити ймовірність як межа частковости, при числі випробувань, що прагнуть до нескінченності, закінчилася невдало. Хоча американський учений Мизес створив теорію імовірності, що базується на цьому визначенні, але її не визнали через велику кількість внутрішніх логічних невідповідностей.

Теорія імовірності як наука була побудована на аксіоматиці Колмогорова.

Завдання для самоперевірки:

1. Введення