10. Функции нескольких переменных

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (х₁, х₂, …, х_n) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f(х₁, …, х_n).

Переменные х₁, …, х_n называются независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции. Очевидно, что это подмножество n-мерного пространства.

Функция двух переменных будем обозначается z = f(x, y). Её область определения Х есть подмножество координатной плоскости Оху.

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку М₀. Круг на плоскости – двумерный аналог интервала на прямой.

Графиком функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = f(x, y).

График функции двух переменных z = f(x, y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Для построения графика функции z = f(x, y) полезно рассматривать функции одной переменной z = f(x, y₀) и z = f(x₀, y), представляющие сечения графика z = f(x, y) плоскостями Охz и Oyz, т.е. плоскостями y = y₀ и х = х₀.

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oyz и Охz, представляют параболы (например, при , при и т.д.). В сечении поверхности координатной плоскостью Оху, т.е. плоскостью z = 0, получается окружность . График функции представляет поверхность, называемую параболоидом.

График функции двух переменных – значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В то же время, поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С.

Предел и непрерывность

Число А называется пределом функции z = f(x, y) при и (или в точке (x₀, y₀)), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число (зависящее от ε, ), такое, что для всех точек (x, y), отстоящих от точки (x₀, y₀) на расстояние ρ меньше, чем δ (т.е. при 0 < ρ < δ), выполняется неравенство .

Обозначается предел так: .

Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке (x₀, y₀), если она:

1) определена в точке (x₀, y₀); 2) имеет конечный предел при и ;

3) этот предел равен значению функции в точке (x₀, y₀), т.е. .

Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или , или .