- •7. Определённый интеграл Понятие определённого интеграла
- •Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление объёмов тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •8. Числовые ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимый признак сходимости
- •Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •9. Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена
- •Применение рядов в приближённых вычислениях
- •10. Функции нескольких переменных
- •Предел и непрерывность
- •Частные производные
- •Дифференциал функции
- •Градиент
- •Производная по направлению
- •Частные производные высших порядков
- •11. Исследование функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа
- •12. Общие понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах
- •13. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Метод вариации произвольных постоянных
Уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если функции P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условию то есть его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y).
Если уравнение переписать в виде du(x,y) = 0, то его общий интеграл определяется равенством u(x,y) = C.
Так как левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x,y), то и функция u(x,y) должна удовлетворять системе уравнений (*)
Интегрируя по x первое уравнение, получим где произвольная функция от y.
Выберем так, чтобы функция была решением и второго уравнения системы (*). Дифференцируя найденную функцию u(x,y) по переменной y и приравнивая полученную производную к Q(x,y), получим уравнение
Интегрируя это уравнение, находим функцию Подставляя в, получим искомую функцию u(x,y).
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Здесь P(x,y) = 2y – 3, Следовательно, это уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Находим функцию u(x,y), используя равенство :
Из равенства находим функцию затем :
Отсюда и общее решение уравнения имеет вид
Замечание. При нахождении функции по её полному дифференциалу получаем множество функций u(x,y) = C, где C произвольная постоянная. Для решения уравнения нам достаточно было найти одну функцию этого множества, а затем приравнять её C.
Задания для самостоятельного решения
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11.
Решить задачу Коши для уравнений с разделяющимися переменными:
12. 13.
14. 15.
16. 17.
18. 19. .
Решить однородные уравнение первого порядка:
20. 21. 22.
23. 24. 25.
26. 27. 28.
29. 30. 31.
Решить линейные уравнения первого порядка:
32. 33. 34. 35.
36. 37. 38.
39. 40. 41. 42.
13. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения
Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида .
Это уравнение связывает независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные до n-го порядка.
Будем рассматривать в основном уравнения второго порядка .
Если это возможно, то в виде, разрешенном относительно высшей производной, уравнение записывают как .
Общим решением уравнения или называется функция содержащая две произвольные постоянные и удовлетворяющая условиям:
1) при любых постоянных и функция является решением уравнения;
2) каковы бы ни были начальные условия , при соответствующем выборе произвольных постоянных и эта функция является решением уравнения и удовлетворяет этим начальным условиям.
Всякое решение, полученное из общего решения для конкретных значений постоянных, называется частным решением этого уравнения.
Простейшие уравнения вида решаются последовательным
n-кратным интегрированием.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
Решение:
Обозначивполучим общее решение .