- •7. Определённый интеграл Понятие определённого интеграла
- •Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление объёмов тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •8. Числовые ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Необходимый признак сходимости
- •Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •9. Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Свойства степенных рядов
- •Ряд Маклорена
- •Применение рядов в приближённых вычислениях
- •10. Функции нескольких переменных
- •Предел и непрерывность
- •Частные производные
- •Дифференциал функции
- •Градиент
- •Производная по направлению
- •Частные производные высших порядков
- •11. Исследование функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
- •Условный экстремум
- •Метод множителей Лагранжа
- •12. Общие понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах
- •13. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия и определения
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет специальный вид где - многочлен n-й степени, или , или в общем случае где - многочлен
m-й степени, то частное решение уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Частное решение ищут в похожем на f(x) виде с неизвестными пока коэффициентами, умножая в некоторых случаях на x или на
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 9).
Общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид где - частное решение неоднородного уравнения. Частное решение будем искать в виде . Найдем , подставим их в данное уравнение вместе с и определим коэффициент A.
, 5A = 10, A = 2. Итак, - частное решение данного уравнения. Общее решение уравнения имеет вид
Пример 15. Решить уравнение
Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k=1 кратности 2. Значит, частными решениями соответствующего однородного уравнения будут функции и , при подстановке которых в левую часть уравнения вместе с их производными правая часть уравнения обратится в нуль. Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Найдем , , подставим их в данное уравнение и определим коэффициент A:
Отсюда 2A = 1,
Итак, - частное решение данного уравнения. Тогда общее решение будет иметь вид:
Пример 16. Решить уравнение
Решение. Общее решение однородного уравнения найдено в примере 13. Так как правая часть данного уравнения является многочленом второй степени, то и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде многочлена второй степени Находим , подставляем их в уравнение и определяем коэффициенты A, B, C :
или
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства:
Отсюда находим A = 1, B =0, Следовательно, - частное решение данного уравнения. Тогда общее решение будет иметь вид:
Пример 17. Решить уравнение
Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни Общее решение однородного уравнения имеет вид Так как уравнение не содержит искомой функции y а, значит, при дифференцировании степень многочлена понизится на единицу, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .
или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства, получим систему для нахождения A, B, C:
Отсюда
- частное решение данного уравнения.
Общее решение имеет вид:
Пример 18. Решить уравнение
Решение. Характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Общее решение однородного уравнения имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Подставляя , и в уравнение, находим коэффициенты A и B .
Приравнивая коэффициенты перед и в правой и левой частях равенства, получим
Отсюда A = 39, B = 26. Следовательно, - частное решение неоднородного уравнения. Значит, - общее решение данного уравнения.