Контрольна робота №2 Зразок розв`язання і оформлення контрольної роботи №2

Варіант № 31

Завдання 2.1. Розв’язати диференціальні рівняння:

а) , б) .

Розв’язання. а) Рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними .

Для відокремлення змінних, поділимо обидві частини рівняння на добуток , в результаті чого отримаємо диференціальне рівняння

.

Інтегруємо останнє рівняння

, ,

- загальний інтеграл заданого рівняння.

б) Рівняння записане в загальній формі. Виразимо з нього і отримаємо рівняння в нормальній формі

.

Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням. Дійсно,

.

Для розв’язання однорідного рівняння введемо заміну , тоді

; ,

, , ,

,

.

Повертаючись до змінної , знаходимо загальний інтеграл заданого рівняння:

або .

Завдання 2.2. Знайти розв’язок задачі Коші диференціального рівняння першого порядку

.

Розв’язання. Задача Коші полягає в тому, щоб визначити частинний розв’язок диференціального рівняння, використовуючи для цього початкову умову. Для цього спочатку знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння.

Задане рівняння є лінійним ( і містяться в рівнянні лише в перших степенях) . Розв’язуємо його методом Бернуллі. За формулою маємо

, .

, .

Складаємо систему двох рівнянь:

Розв’язуємо перше з рівнянь системи:

, .

Підставляємо отримане значення функції в друге рівняння системи і розв’язуємо його:

, .

Запишемо загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Для розв’язання задачі Коші застосуємо початкову умову і знайдемо значення сталої , для чого підставимо в загальний розв’язок значення , :

.

Отже, частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

.

Завдання 2.3. Визначити ймовірності подій за класичною моделлю.

Група з 24 студентів, серед яких 5 відмінників, довільно розбивається порівну на дві підгрупи. Знайти ймовірність того, що три відмінники будуть у першій підгрупі (подія А).

Розв’язання. Будемо випадково відбирати 12 студентів у першу підгрупу. Побудуємо класичну модель досліду, в якому кожен випадок – це один із варіантів розподілу студентів. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число п випадків у такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 24 по 12:

.

Серед знайденого числа способів комплектування першої підгрупи знайдемо число варіантів т, сприятливих події А. Це такі варіанти, у яких 3 студенти взяті серед 5 відмінників, а решта 9 – серед 19 студентів, що не вчаться на відмінно. Число т знайдемо за комбінаторним принципом добутку

.

Тоді ймовірність попадання трьох відмінників у першу підгрупу обчислюється за класичною формулою:

.

Відповідь: 0,34.

Завдання .2.4. Імовірності суми й добутку подій

1). Серед семи виробів є три бракованих. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що один за одним без повернення будуть вийняті три вироби у такій послідовності: бракований – не бракований – бракований.

Розв’язання. Позначимо події: А₁ – перший узятий виріб бракований; А₂ – другий виріб не бракований; А₃ – третій виріб бракований. Тоді ймовірність події А можна обчислити за теоремою множення ймовірностей:

.

Відповідь: 0,114.

2). Знайти ймовірність влучити в мішень принаймні один раз при трьох пострілах (подія А), якщо ймовірність влучити в мішень при першому пострілі (подія А₁) становить 0,7, при другому (подія А₂) – 0,8, при третьому (подія А₃) – 0,85.

Розв’язання. Перейдемо до протилежної події – стрілець не влучив жодного разу в мішень із трьох пострілів (подія ). Тоді . Оскільки події , а разом з ними відповідні протилежні події – незалежні, то за наслідком теореми 1

(1– 0,7)(1– 0,8)(1– 0,85)=0,009,

звідки знайдемо ймовірність події А : .

Відповідь: 0,991.

Завдання .2.5. Функція розподілу неперервної випадкової величини має вигляд:

а) Знайти коефіцієнт A та зробити креслення ; б) записати та зробити креслення; в) обчислити числові характеристики та ; г) знайти ймовірність події .

Розв’язання. а) Функція розподілу випадкової величини неперервна, тому . Звідси маємо А=1. Отже, графік функції розподілу має вигляд (Рис. 2.1):

Рис.2.1

б) знайдемо за властивістю 2):

Графік щільності розподілу наведений на рис. 2.2:

Рис. 2.2

в) За формулами обчислимо числові характеристики:

.

=.

г) Використовуючи властивість щільності розподілу, одержимо :

P=.

Або

P=.

Відповідь: а) А=1; б) в)

г)

Завдання 2.6.31. Для даного варіанта задана вибірка

1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3, 5, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3.

Потрібно: